留数及其应用
留数及其应用
第一讲 弧立奇点
第一讲 孤立奇点
留数及其应用 1.孤立奇点 复习：若函数f(z)在z处不解析，但在2o的任意 邻域内总有f(z)的解析点则称z,为函数f(z)的奇点。 定义1：设z=z0为f(z)的一个奇点，且存在一个去 心领域0<|z-z0l<6,f(z)在其中处处解析，则称z为 f(z)的孤立奇点
留数及其应用 1.孤立奇点 定义1：设𝒛 = 𝒛𝟎为𝒇(𝒛)的一个奇点，且存在一个去 心领域𝟎 < |𝒛 − 𝒛𝟎 | < 𝜹, 𝒇(𝒛)在其中处处解析，则称𝒛𝟎为 𝒇(𝒛)的孤立奇点。 复习：若函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎处不解析，但在𝒛𝟎的任意 邻域内总有𝒇(𝒛)的解析点则称𝒛𝟎为函数𝒇(𝒛)的奇点
举例 例1：z=0,为会，的孤立奇点。 刷2：z1=,z2=-1是函数f(a)=a-le+0 1 的两个 孤立奇点。 例3：zn=是(nEZ+)是函数f(z)=的孤立奇点， nπ sin 但z=0是奇点，但不是孤立奇点，因为在z=0的任 何邻域中都有2n=1的奇点
举例 例1：𝒛 = 𝟎,为 𝟏 𝒛 , 𝒆 𝒛−𝟏 𝒛 , 𝒔𝒊𝒏𝒛 𝒛 的孤立奇点。 例2：z𝟏 = 𝒊， 𝒛𝟐 = −𝟏是函数𝒇 𝒛 = 𝟏 (𝒛−𝒊)(𝒛+𝒊) 的两个 孤立奇点。 例3：zn = 𝟏 n𝝅 (𝒏 ∈ 𝒁 +)是函数𝒇 𝒛 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟏 𝒛 的孤立奇点， 但𝒛 = 𝟎 是奇点，但不是孤立奇点，因为在𝒛 = 𝟎 的任 何邻域中都有zn = 𝟏 n𝝅 的奇点
孤立奇点的分类 设z为f(z)的一个孤立奇点，在0<|z-zol<6中，f(Z) 解析，则f(z)可展成洛朗级数： 十00 fa)=∑ Cn (z-Zo)n n=-0o aa-0+ca-0 00 n=-00
孤立奇点的分类 设𝒛𝟎为𝒇(𝒛)的一个孤立奇点,在𝟎 < |𝒛 − 𝒛𝟎| < 𝜹中,𝒇(𝒛) 解析，则𝒇(𝒛)可展成洛朗级数： 𝒇 𝒛 = 𝒏=−∞ +∞ 𝒄𝒏 (𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏 = 𝒏=𝟎 ∞ 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏 + 𝒏=−∞ −𝟏 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎) 𝒏