留数及其应用
留数及其应用
第二讲 丞数的零点与极点的关系
第二讲 函数的零点与极点的关系
留数及其应用 1.函数的零点与极点的关系 定义1：若f(z)=(z-z0)mp(z),p(z)在zo处解析，且 p(z)≠0，m为某一正整数，那么称zo为f(z)的m阶零点。 例1：z=0,z=1分别为f(z)=z(z-1)3的一阶与三阶零点。 定理1：若f(z)在zo处解析，那么z,为f(z)的m阶零点的充要 条件是fm(zo)=0(n=0,1,m-1),fm(zo)≠0. 定理2：如果z是f(a的m阶极点，那么z是名 的m阶零点 (可去奇点当作解析点看待)反之亦然
留数及其应用 1.函数的零点与极点的关系
举例 例 :函数f(2)=1有些什么奇点，如果是极点， sinz 指出它的阶。 解：函数1的奇点是使sinz=0的点，这些奇点 是z=kπ(k∈Z)且为孤立奇点。 (sinz)'lx=km=coskπ=(-1)k≠0(k∈Z) z=kπ为sinz的一阶零点，也就是1的一阶极点
举例 解：
2.函数在无穷远点的性态 定义2：设函数f(z)在无穷远的邻域R<|z<+o,内 解析，则无穷远点就称为f(z)的孤立奇点。 设R<|z<+∞内，则f(z)可展成洛朗级数： +00 fa)=∑cz (I) n=-c0
2.函数在无穷远点的性态 (Ⅰ)