留数及其应用
留数及其应用
第四讲 留数的计算
第四讲 留数的计算
留数及其应用 1.留数定理 定理2：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 21z2,Zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 D ∮fed =2πi Res [f(z),zk] 台
留数及其应用 1.留数定理 定理2：设函数𝒇(𝒛)在区域𝑫内除有限个孤立奇点 𝒛𝟏,𝒛𝟐, . , 𝒛𝒏外处处解析，𝑪是𝑫内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 ර 𝐶𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝟐𝝅𝒊 𝒌=𝟏 𝒏 𝑹𝒆𝒔 [𝒇(𝒛), 𝒛𝒌] D z1 z z 2 3 zn C1 C2 C3 Cn C
2.1函数在极点处的留数： 法则1：若zo为f(z)的简单（一阶)极点，则 Res[f(z),Zo]lim(z-zo)f(z) Z→Z0 证：若zo为f(2z)的简单（一阶）极点，则 fa=2+.a-0<k-w长 00 n=0 lim(z-zo)f(z)=c-1 Z→Z0
2.1函数在极点处的留数： 法则1：若𝒛𝟎为𝒇(𝒛)的简单（一阶）极点，则 𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛),𝒛𝟎] = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒇(𝒛) 证：若𝒛𝟎为𝒇(𝒛)的简单（一阶）极点，则 𝒇 𝒛 = 𝒄−𝟏 𝒛 − 𝒛𝟎 + 𝒏=𝟎 ∞ 𝒄𝒏 (𝒛 − z0 ) 𝒏 (𝟎 < |𝒛 − 𝒛𝟎| < 𝜹) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒇 𝒛 = 𝒄−𝟏
举例 例1：求f(2)= 1 在各孤立奇点处的留数。 z(z-2)(z+5) 解：在z=0,z=2,z=-5,是f(z)的一阶极点，因此 ReslF(),o1=zfa)=典a-可=品 Z-0 Res[f(2),2)]=li(z-2)f(z)=lim,1 =1 737 2→2z(z+5)-14 Res,)-51=m+5f=ma=第 1=1
例1：求 𝒇 𝐳 = 𝟏 𝒛(𝒛−𝟐)(𝒛+𝟓) 在各孤立奇点处的留数。 解：在𝒛 = 𝟎, 𝒛 = 𝟐, 𝒛 = −𝟓,是𝒇(𝒛)的一阶极点，因此 𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛), 𝟎] = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝒛𝒇 𝒛 = 𝑹𝒆𝒔[𝒇(𝒛), 𝟐] = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟐 𝒛 − 𝟐 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟐 𝟏 𝒛(𝒛+𝟓) = 𝟏 𝟏𝟒 𝑹𝒆𝒔 𝒇 𝒛 , −𝟓 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→−𝟓 𝒛 + 𝟓 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→−𝟓 𝟏 𝒛−𝟐 𝒛 = 𝟏 𝟑𝟓 举例 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎 𝟏 (𝒛−𝟐)(𝒛−𝟓) = 𝟏 𝟏𝟎