解析函数
解 析 函 数
第五讲 初等函数之对数函数
第五讲 初等函数之对数函数
初等函数 1.对数函数 定义1：对于z≠0，满足z=ew的函数，则把w=f(z)称 为对数函数，记作Lnz。 令z=rei8,w=u+iw, z=reie ew eutiv,r zl r e",u Inr Inzl, =0+2kπ=Argz,keZ w=Lnz In|z+iArgz,z#0 多值函数， 主值：lnz=lnlz+iargz.单值函数。 w=Lnz=lnz+2kπi,k∈z
初等函数 1.对数函数 定义1：对于𝒛 ≠ 𝟎,满足𝐳 = 𝒆 𝒘的函数，则把𝒘 = 𝒇(𝒛)称 为对数函数,记作 𝑳𝒏𝒛 。 令𝒛 = 𝒓𝒆 𝒊𝜽 , 𝒘 = 𝒖 + 𝒊𝒗, 𝐳 = 𝒓𝒆 𝒊𝜽 = 𝒆 𝒘 = 𝒆 𝒖+𝒊𝒗 , 𝒓 = |𝒛| 𝒓 = 𝒆 𝒖 , 𝒖 = 𝒍𝒏𝒓 = 𝒍𝒏|𝒛|, 𝒗 = 𝜽 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝑨𝒓𝒈𝒛, 𝒌𝝐𝒁 𝒘 = 𝑳𝒏𝒛 = 𝒍𝒏|𝒛| + 𝒊 𝑨𝒓𝒈𝒛 , 𝒛 ≠ 𝟎 主值：𝒍𝒏𝒛 = 𝒍𝒏 𝒛 + 𝒊𝒂𝒓𝒈𝒛 . 多值函数. 单值函数。 𝒘 = 𝑳𝒏𝒛 = 𝒍𝒏𝒛 + 𝟐𝒌𝝅𝒊, 𝒌 ∈ 𝒛
举例 例1：求Ln2,Ln(-1)以及其主值。 解： (1)Ln2=ln2+2kπi In2 In 2 +i0 In2 (2)Ln(-1)=ln(-1)+2kπi ln(-1)=lnl-1|+iπ=iπ Ln(-1)=πi+2kπi=(1+2k)πi,k∈Z
例1：求𝑳𝒏𝟐, 𝑳𝒏(−𝟏)以及其主值。 解： （1）𝑳𝒏𝟐=𝒍𝒏𝟐 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 （𝟐）𝑳𝒏(−𝟏)=𝒍𝒏 −𝟏 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 举例 𝒍𝒏𝟐 = 𝒍𝒏|𝟐| + 𝒊𝟎 = 𝒍𝒏𝟐 𝒍𝒏 −𝟏 = 𝒍𝒏 −𝟏 + 𝒊𝝅 = 𝒊𝝅 𝑳𝒏(−𝟏)=𝝅𝒊 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝟏 + 𝟐𝒌 𝝅𝒊, 𝒌 ∈ 𝒁
举例 例2：求Lni,ln(2-3i),Ln(-2+3i)。 解： (1)Lni=lni+2kπi lni=lml训+i=i Lni=i+2kπi=(2k+)πi,kez (2)In(2-3)=Inl2-3il+iarctan Inv13 iarctanz 3
例2：求𝑳𝒏𝒊,𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒊 , 𝑳𝒏(−𝟐 + 𝟑𝒊)。 解： （1）𝑳𝒏𝒊=𝒍𝒏𝒊 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 （𝟐） 举例 𝒍𝒏𝒊 = 𝒍𝒏|𝒊| + 𝒊 𝝅 𝟐 = 𝒊 𝝅 𝟐 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒊 = 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒊 + 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (−𝟑) 𝟐 𝑳𝒏𝒊 = 𝒊 𝝅 𝟐 + 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝟐𝒌 + 𝟏 𝟐 𝝅𝒊, 𝒌𝝐𝒁 = 𝒍𝒏 𝟏𝟑 − 𝒊𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟐