解析函数
解 析 函 数
第三讲 解析丞数与调和丞数
第三讲 解析函数与调和函数
解析函数与调和函数 1.调和函数的概念 定义1：设二元实函数：p=p(x,y), 若有 g+020-0, 0x2十ay2 称为二维拉普拉斯(Laplace)方程
解析函数与调和函数 1.调和函数的概念 定义1： 设二元实函数：𝝋 = 𝝋 𝒙, 𝒚 , 若有 称为二维拉普拉斯(Laplace)方程。 𝜕 2𝜑 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝜑 𝜕𝑦2 =0
定义2：设二元实函数：p=p(x,y), 在区域D内有二阶连续偏导数，且满足 二维拉普拉斯(Laplace)方程，则称p(x,y) 为区域D内的调和函数，或者称p(x,y)在区 域D内调和
定义2： 设二元实函数：𝝋 = 𝝋 𝒙, 𝒚 , 在区域D内有二阶连续偏导数，且满足 二维拉普拉斯(Laplace)方程，则称𝝋 𝒙, 𝒚 为区域D内的调和函数，或者称𝝋 𝒙, 𝒚 在区 域D内调和
定理1： 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析， 则f(Z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是区域D内的调和函数。 证明： 因为f(z在区域D内解析，u、v满足C-R方程， 当fz在区域D内解析时，u、v有任意阶连续 偏导数，对以下两式求偏导： = du =- dv 0x ∂y dy ax 得： 2u a2v a2u 02v axdy dy2 oyox 两式相减得： -0,即v(x,y)是调和函数。 02v,02v 同理u(x,y)也是调和函数
定理1： 设函数 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚) 在区域D内解析， 则𝒇(𝒛)的实部𝒖(𝒙, 𝒚)和虚部𝒗(𝒙, 𝒚)都是区域D内的调和函数。 证明： 因为f(z)在区域D内解析， 𝒖、𝒗 满足C-R方程， 当f(z)在区域D内解析时，𝒖、𝒗有任意阶连续 偏导数，对以下两式求偏导： 𝝏 𝟐𝒖 𝝏𝒙𝝏𝒚 = 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒚 𝟐 ， 𝝏 𝟐𝒖 𝝏𝒚𝝏𝒙 = − 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒙 𝟐 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 ， 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = − 𝝏𝒗 𝝏𝒙 得： 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐𝒗 𝝏𝒚 𝟐 两式相减得： =0，即 𝒗(𝒙, 𝒚) 是调和函数。 同理𝒖(𝒙, 𝒚)也是调和函数