第六讲 有限区间函数的傅里叶级数
无 穷 级 数 第六讲 有限区间函数的傅里叶级数
无穷级数 1.任意有限区间函数的傅里叶级数 方法1fx),x∈[ab] 令x=z+,即z=x- b+a 2 F=f=f(a+20）,ze2, 周期延拓 F2)在“2，上展成傅里叶级数 将2=x-代入展开式 f(x)在[a,b]上的傅里叶级数
无 穷 级 数 1. 任意有限区间函数的傅里叶级数 方法1 ᵈ(ᵉ ) , ᵉ ∈ [ᵈ ,ᵈ ] 即 周期延拓
无穷级数 方法2fx),x∈[ab] 令x=z+a,即 z=x-a F(z)=f(x)=f(z+a), z∈[0，b-a 奇或偶式周期延拓 F(z)在[0，b-a]上展成正弦或余弦级数 将z=x一a代入展开式 f(x)在[a,b]上的正弦或余弦级数
无 穷 级 数 方法2 ᵈ(ᵉ ) , ᵉ ∈ [ᵈ ,ᵈ ] 令ᵉ = ᵉ + ᵈ , ᵆ (ᵉ) = ᵈ(ᵉ ) = ᵈ(ᵉ + ᵈ ), 奇或偶式周期延拓 即 ᵉ = ᵉ − ᵈ
无穷级数 举例 例1：将函数f(x)=10-5x(5<x<15) 展开成傅里叶级数，并作出级数的和函数图形 解：令z=x-10,设F(z)=f(x)=f(z+10)=-z,z∈(-5,5) 将F(z)延拓成周期为10的周期函数，则它满足收敛定 理条件.由于F(z)是奇函数，an=0(n∈N) F(Z) ba=专-zstm"gdz=(-19 00 10(-1)” mπz F(Z)= -sin- π台 (-5<z<5) n 5 (n=1,2,.) 10(-1)” nπx ·10-5x= sin (5<X<15) n n1
无 穷 级 数 举例 展开成傅里叶级数，并作出级数的和函数图形. ᵃ (ᵆ ) 5 ᵆ − 5 解: 令ᵉ = ᵉ − ᵼᵼ , 理条件. (ᵅ = 1 , 2, ⋯ ) 则它满足收敛定 (−5 < ᵆ < 5) (5 < ᵆ < 15)
无穷级敛 2.傅里叶级数的复数形式 设f(x)是周期为2的周期函数，则 九πx nπx f(x (ancos+basin n=1 nπx cos e贤+e 2 利用欧拉公式 =(e贤-e nπx 00 f(x)= 2+I2a晋+e)(e7-。受】 2 n=1 00 ao 2 an-iono+amibe 2 2 n=1 C-
无 穷 级 数 2. 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式 ᵈ ᵼ ᵈ ᵈ