复数的概念与计算
复数的概念与计算
第四讲 复数乘积与商
第四讲 复数乘积与商
复数的乘幂与方根 1.复数的乘积与商 定理1.1设z1=r1(c0s01+isin01),z2=r2(c0s02+isin02), 则(1)z1z2=r1r2[c0s(01+02)+isin(01+02]; 证明：z1z2=r1(c0s01+isin01)r2(c0s02+isin02) =rir2(cos01+isin01)(cos02 isin02) rir2(Cos01COS02-sinesin02+i(cos01sin02+sine1Cos02)) =r1r2[c0s(01+02)+isin(01+02)]
1.复数的乘积与商 定理1.1 设𝒛𝟏 = 𝒓𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏 , 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 , 则 𝟏 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏+𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 ]; 证明: 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 + 𝒊(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐) = 𝒓𝟏𝒓𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐)] 复数的乘幂与方根
则(2) z21 [cos(01-02)+isin(01-02小. 2 证明： Z1_r1(cos01+isin01) Z2 r2 (cos02 isine2) r1(cos01+isin01)(cos02-isin02) r2 (cos02 isine2)(cos02-isin02) _ri(cos01c0s02+sineisin02+i(sinecos02-cos01sin02)) r2(c0s202+sin282) [cos(01-02)+isin(01-02)】:
𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 则(2) [𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏−𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 ]. 证明: 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏) 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) = 𝒓𝟏(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏)(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) (𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) = 𝒓𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐 + 𝒊(𝒔𝒊𝒏𝜽𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏𝒔𝒊𝒏𝜽𝟐) 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽𝟐 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽𝟐) = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 [𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟏−𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 ]
2.复数乘法的几何意义下 y Z122 将向量z2旋转角度01=argz1后， riT2 再将它的长度伸缩T1=|z1倍，所 01+02 8122 得即为向量z122。 2 -21 01 0 特别地，当z1=1时，向量z1z2就是将向量z2旋转角 度01=argz1所得的向量。 Arg212=01+02,Ar9261-62
2.复数乘法的几何意义 x y O 𝑧1 𝜃1 𝜃2 𝑧2 将向量𝒛𝟐 旋转角度𝜽𝟏 = 𝒂𝒓𝒈𝒛𝟏 后， 再将它的长度伸缩 𝒓𝟏 = |𝒛𝟏| 倍,所 得即为向量𝒛𝟏𝒛𝟐 。 特别地，当 |𝒛𝟏|=1时，向量 𝒛𝟏𝒛𝟐就是将向量 𝒛𝟐 旋转角 度𝜽𝟏 = 𝒂𝒓𝒈𝒛𝟏所得的向量。 𝜃1 𝜃1+𝜃2 𝑧1𝑧2 𝑟1𝑟2 𝑨𝒓𝒈𝒛𝟏𝒛𝟐=𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 , 𝑨𝒓𝒈 𝒛𝟏 𝒛𝟐 =𝜽𝟏 − 𝜽𝟐