解析函数
解 析 函 数
第一讲 解析的概念
第一讲 解析函数的概念
解析函数的概念 1.复变函数的导数 定义1：设函数w=f(z),在zo的某邻域内 有定义，Z0+△z是某邻域内任意一点， △z=z-Z0△w=f(z0+△z)-f(z0),若 lim w=lim f(z0+△z)-f(zo) △2→0△z △z→0 △z 存在有限的极限值A,则称函数f(z)在点zo处可导， 这个极限值称为f(z)在z,处的导数。记作 f)=829,- dw △z→0△zz=z0
解析函数的概念 1.复变函数的导数 定义1: 设函数𝐰 = 𝐟 𝒛 ,在𝒛𝟎的某邻域内 有定义, 𝒛𝟎 + ∆𝒛 是某邻域内任意一点， ∆𝒛 = 𝒛 − 𝒛𝟎,∆𝑤 = 𝑓 𝒛𝟎 + ∆𝒛 − 𝑓 𝒛𝟎 ,若 lim ∆𝑧→0 ∆𝑤 ∆𝑧 = lim ∆𝑧→0 𝑓 𝑧0+∆𝑧 −𝑓(𝑧0) ∆𝑧 存在有限的极限值A，则称函数𝒇(𝒛)在点z0处可导， 这个极限值称为𝒇(𝒛)在z0处的导数。记作 𝑓 ′ 𝑧0 = 𝑑𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 𝑧=𝑧0 = 𝑑𝑤 𝑑𝑧 𝑧=𝑧0 = lim ∆𝑧→0 ∆𝑤 ∆𝑧 𝑧=𝑧0
2.复变函数的微分 若△w=f'(z)△z+o(I△z) (△z→0) 称df(zo)=f'(zo)△z=f'(zo)dz为f(z)在zo处的微分。 也称f(z)在zo处可微。 f(z)在zo处可微（或可导），则f(z)在z0处连续
2.复变函数的微分 若∆𝑤 = 𝑓 ′ 𝑧0 ∆𝑧 + 𝑜 ∆𝑧 (∆𝑧 → 0) 称𝑑𝑓(𝑧0) = 𝑓 ′ 𝑧0 ∆𝑧 = 𝑓 ′ 𝑧0 𝑑𝑧为𝑓(𝑧)在𝑧0处的微分。 也称𝑓 𝑧 在𝑧0处可微。 𝑓 𝑧 在𝑧0处可微(或可导），则𝒇 𝒛 在𝒛𝟎处连续
3.解析函数 定义2：若函数f(z)在z,及z,的领域内处处可导， 则称函数f(z)在zo处解析。 若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称函数 f(z)在D内解析，称f(z)为D内的解析函数。 若函数f(z)在zo处不解析，但在z的任意邻域内总 有f(z)的解析点则称z,为函数f(z)的奇点。 说明： 不解析点不一定是奇点， 函数在区域内解析与区域内处处可导等价。 函数在一点可导与该点处解析不是等价的
3.解析函数 定义2：若函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎及𝒛𝟎的领域内处处可导， 则称函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎处解析。 若函数𝒇(𝒛)在区域𝑫内每一点都解析，则称函数 𝒇(𝒛)在𝑫内解析，称𝒇(𝒛)为𝑫内的解析函数。 若函数𝒇(𝒛)在𝒛𝟎处不解析，但在𝒛𝟎的任意邻域内总 有𝒇(𝒛)的解析点则称𝒛𝟎为函数𝒇(𝒛)的奇点。 说明： 不解析点不一定是奇点， 函数在区域内解析与区域内处处可导等价。 函数在一点可导与该点处解析不是等价的