解析函数
解 析 函 数
第四讲 初等函数之指数函数
第四讲 初等函数之指数函数
初等函数 1指数函数 定义1：对于复数z=x+iy,称e2=ex(cosy+isiny) 为指数函数，e2=exp(z). 欧拉公式：ey=cosy+isiny (y为实数)
初等函数 1.指数函数 定义1：对于复数𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚,称𝒆 𝒛=𝒆 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒚 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒚 为指数函数，𝒆 𝒛=𝒆𝒙𝒑(𝒛). 欧拉公式：𝒆 𝒊𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒚 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒚 （𝒚为实数）
指数函数的性质 (1)模le=ex,辐角Arge2=y+2kπ，keZ. (2)指数运算法则e21e22=e21+z2; e21 e22 =e1-2. (3)周期函数2kπi(k=±1，±2，.) ez+2kπi=e2(cos2kπ+isin2kπ)=e2 (4) e2不存在；册e2=lime2=0 7300 X→-00 z=x<0 (5)(e2)'=e2
指数函数的性质 （1）模 |𝒆 𝒛 |=e 𝒙 ,辐角 𝐴𝑟𝑔 𝒆 𝒛=𝑦 + 2𝑘𝜋,k𝜖𝑍. （2）指数运算法则 𝒆 𝒛𝟏𝒆 𝒛𝟐 = 𝒆 𝒛𝟏+𝒛𝟐； （3）周期函数 𝟐𝒌𝞹𝒊 𝒌 = ±𝟏, ±𝟐, . 𝒆 𝒛+𝟐𝒌𝝅𝒊=𝒆 𝒛 (cos 𝟐𝒌𝝅 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝟐𝒌𝝅)= 𝒆 𝒛 （4）𝒛 𝐥𝐢𝐦 →∞ 𝒆 不存在； 𝒛 𝒛 𝐥𝐢𝐦 →∞ 𝒛=𝒙<𝟎 𝒆 𝒛 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒆 𝒛 = 𝟎 （5）(𝒆 𝒛 )′ = 𝒆 𝒛 . 𝒆 𝒛𝟏 𝒆 𝒛𝟐 = 𝒆 𝒛𝟏−𝒛𝟐
举例 例1：计算e3+星t的值，说明实部和虚部。 解：e3+7=e-3(cos年+isim孕 =e3竖+ 实部：e3号 虚部： e~3V2 2
举例 例1：计算𝒆 −𝟑+ 𝝅 𝟒 𝒊 的值,说明实部和虚部。 解： 𝒆 −𝟑+ 𝝅 𝟒 𝒊 = 𝒆 −𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 ) = 𝒆 −𝟑 ( 𝟐 𝟐 + 𝒊 𝟐 𝟐 ) 实部： 𝒆 −𝟑 𝟐 𝟐 虚部： 𝒆 −𝟑 𝟐 𝟐