复数与复变函数
复数与复变函数
第七讲 平面曲线与复变丞数
第七讲 平面曲线与复变函数
平面曲线与复变函数 1.平面曲线 平面曲线可以用一对连续函数x=x(t),y=y(t) (α≤t≤b)表示，用实变量的复值函数z(t)表示为： z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b 例如： (1)以坐标原点为中心，以a为半径的圆周的 参数方程为： z=x+iy x=acost y=asint,(0≤t≤2π) 写成复数形式方程为： z=a(cost+isint),(0≤t≤2π)
平面曲线与复变函数 1.平面曲线 平面曲线可以用一对连续函数𝒙 = 𝒙(𝒕),𝒚 = 𝒚(𝒕) (𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃)表示,用实变量的复值函数z(t)表示为： z 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑖𝑦(𝑡) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 例如： (1)以坐标原点为中心,以a为半径的圆周的 参数方程为： 𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 写成复数形式方程为： 𝒛 = 𝒂(𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒕), (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 𝑦 𝑂 𝑥 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 𝑡 𝑎
(2)以坐标原点为中心焦点在实轴上，长半轴为α， 短半轴为的参数方程为： z=x+iy x=acost y bsint, (0≤t≤2π) 写成复数形式方程为： z acost ibsint, (0≤t≤2π) (3)平面上连接两点(x1,y1),与(x2,y2)的直线段参数方程为： x=x1+(x2-x1)t,y=y1+(y2-y1)t,(0≤t≤1) 复平面上复数21，Z2的参数方程为： z=z1+(z2-z1)t,(0≤t≤1)
(2)以坐标原点为中心焦点在实轴上，长半轴为𝒂， 短半轴为b的参数方程为： 𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 写成复数形式方程为： 𝒛 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝒊𝒃𝒔𝒊𝒏𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 𝑦 𝑥 𝑂 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 𝑡 𝑎 b （3)平面上连接两点 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 ,与 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 的直线段参数方程为： 𝒙 = 𝒙𝟏 + (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝒕, 𝐲 = 𝒚𝟏 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏) 复平面上复数𝒛𝟏, 𝒛𝟐的参数方程为： 𝐳 = 𝒛𝟏 + (𝒛𝟐−𝒛𝟏)𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏) 𝑦 𝑥 𝑂 𝒛𝟐 𝒛𝟏
如果在区间a≤t≤b上x'(t),y(t)都是连续的， 且对t的每一个值，有 [x'(t)]2+y'(t)]2≠0 那么这个曲线称为光滑的，由几段依次相接的 光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线。 没有重点的连续曲线C称为简单曲线。如果曲线C 的起点与终点重合，则曲线C称为简单闭曲线 (若尔当(Joedan)曲线)。 z(b z(a)=z(b z(@ z(a） z(b) 简单曲线 不简单曲线
如果在区间𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃上𝒙 ′ 𝒕 ,𝒚 ′ 𝒕 都是连续的， 且对𝒕的每一个值，有 那么这个曲线称为光滑的，由几段依次相接的 光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线。 [𝑥 ′ 𝑡 ] 2 + [𝑦 ′ 𝑡 ] 2 ≠ 0 没有重点的连续曲线C称为简单曲线。如果曲线C 的起点与终点重合，则曲线C称为简单闭曲线 （若尔当（Joedan)曲线）。 𝑧 𝑎 = 𝑧(𝑏) 𝑧 𝑎 = 𝑧(𝑏) 𝑧 𝑎 𝑧(𝑏) 𝑧 𝑎 𝑧(𝑏) 简单曲线 不简单曲线