解析函数
解 析 函 数
第二讲 诬数解析的充要条件
第二讲 函数解析的充要条件
函数解析的充分必要条件 1.柯西一黎曼方程(C-R方程) 两个二元实函数：u=u(x,y),v=(x,y) 若有 =- 8v ay 称为柯西——黎曼方程
函数解析的充分必要条件 1.柯西——黎曼方程(C-R方程） 两个二元实函数：𝒖 = 𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗 = (𝒙, 𝒚) 若有 称为柯西——黎曼方程。 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ， 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥
2.函数解析的充要条件 定理1：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy 处可导的充要条件是u(x,y),v(x,y)在(x,y)处可微， 而且满足C-R方程。此时f(z)可导，导数公式为： C-R方程只是f(z)可导的必要条件，如： u(x,y)=v(x.y)= x2+y2,x2+y2≠0 z=0处不可导， ,x2+y2=0 u_av f(z)=u+iv在z=0,满足 ==0器 0
2.函数解析的充要条件 而且满足C-R方程。此时𝑓 𝑧 可导，导数公式为： 定理1：若函数𝒇 𝒛 = 𝒖 𝒙, 𝒚 + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚)在𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 处可导的充要条件是𝒖 𝒙, 𝒚 ，𝒗(𝒙, 𝒚)在(𝒙, 𝒚)处可微, 𝒇 ′ 𝒛 = 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝒊 𝝏𝒗 𝝏𝒙 = 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝒊 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 + 𝒊 𝝏𝒗 𝝏𝒙 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 − 𝒊 𝝏𝒖 𝝏𝒚 C-R方程只是𝑓 𝑧 可导的必要条件, 如： u 𝑥, 𝑦 = 𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑥 2+𝑦2 , 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0 0 , 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0 ，𝑧 = 0处不可导. 𝒇 𝒛 = 𝒖 + 𝒊𝒗在𝒛 = 𝟎,满足 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 0
定理2：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是u(x,y),v(x,y)在D内处处可微， 而且满足C-R方程。 推论1：若u(x,y),v(x,y)的一阶偏导数在点(x,y)存在 而且连续，并满足C-R方程，则f(z)在点(x,y)可导. 推论2：若u(x,y),v(x,y)的一阶偏导数在区域D存在 而且连续，并满足C-R方程，则f(z)在区域D内解析
定理2：若函数𝒇 𝒛 = 𝒖 𝒙, 𝒚 + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚)在区域𝑫内 解析的充要条件是𝒖 𝒙, 𝒚 ，𝒗(𝒙, 𝒚)在D内处处可微， 而且满足C-R方程。 推论1:若𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗(𝒙, 𝒚)的一阶偏导数在点(𝒙, 𝒚)存在 而且连续,并满足C-R方程,则𝒇(𝒛)在点(𝒙, 𝒚)可导. 推论2:若𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗(𝒙, 𝒚)的一阶偏导数在区域𝑫存在 而且连续,并满足C-R方程,则𝒇(𝒛)在区域𝑫内解析