留数及其应用
留数及其应用
第三讲 留数
第三讲 留数
留数及其应用 1.常用的积分 例刷1：计算∮：g安其中n为任意整数，C为以2为中心， r为半径的圆周。 解：C的参数方程为z=z0+rei0,0≤0≤2π. 5.d0=点ea-m9a0 =,[cos(1-n)8+isin(1-n)8]d0= 2πi,n=1 0,n≠1
留数及其应用 1.常用的积分 例1：计算ׯc dz (𝑧−𝑧0 ) 𝑛其中𝒏为任意整数，𝑪为以𝑧0为中心， 𝒓为半径的圆周。 解：C的参数方程为 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒓𝒆 𝒊𝜽 ，𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅. ��ׯ 𝒅𝒛 (𝒛−𝒛𝟎 ) 𝒏 ��= 𝟐𝝅 𝒓𝒊𝒆 𝒊𝜽 𝒓 𝒏𝒆 𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽 = 𝒊 𝒓 �� ��−�� 𝟐𝝅 𝒆 𝒊(𝟏−𝒏)𝜽𝒅𝜽 = 𝒊 𝒓 �� ��−�� 𝟐𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟏 − 𝒏 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝟏 − 𝒏)𝜽 𝒅𝜽 = ቊ 𝟐𝝅𝒊, 𝒏 = 𝟏 𝟎, 𝒏 ≠ 𝟏
2.柯西积分定理 设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意 一条简单闭曲线C的积分 ∫cf(z)dz=0 证明：∫c(u+iw)d(x+iy) Sc(udx-vdy)+i(vdx udy) =c(+器ddy+c(偎-）axdy =0+0=0 因为： =- a=业 ax’0x=ay
2.柯西积分定理 设函数𝒇(𝒛)在单连通区域𝑫内解析，则𝒇(𝒛)在𝑫内沿任意 一 条简单闭曲线𝑪的积分 �� = �𝒅� �� �� �� �� :证明 (𝒖 + 𝒊𝒗)𝒅(𝒙 + 𝒊𝒚) (�𝒅𝒖� + �𝒅𝒗�)�� + �𝒅𝒗� − �𝒅𝒖� �� = �� = 𝝏𝒖 𝝏𝒚 + 𝝏𝒗 𝝏𝒙 �� + �𝒅𝒙𝒅� 𝝏𝒖 𝝏𝒙 − 𝝏𝒗 𝝏𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 因为：𝝏𝒖 𝝏𝒚 = − 𝝏𝒗 𝝏𝒙 ， 𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒗 𝝏𝒚 . = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎
3.留数概念 00 fa=∑ cne-2=6n+cneto m0 n=-c 当函数f(z)在简单闭曲线C上及其内部解析时 ∮cfa)dz=0 当简单闭曲线C的内部存在f(z)的孤立奇点zo, 4cf(z)dz=2πic-1
3.留数概念 𝒇 𝒛 = 𝒏=−∞ +∞ 𝒄𝒏 (𝒛 − z𝟎 ) 𝒏= 𝒏=𝟎 ∞ 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎 ) 𝒏 + 𝒏=−∞ −𝟏 𝒄𝒏(𝒛 − 𝒛𝟎 ) 𝒏 当函数𝒇(𝒛)在简单闭曲线𝑪上及其内部解析时 ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 0 当简单闭曲线𝑪的内部存在𝒇(𝒛)的孤立奇点𝒛𝟎, ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑐−1 1 2𝜋𝑖 ර 𝐶 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑐−1