傅里叶变换
傅里叶变换
● 第五讲 傅里十变换的性质
第五讲 傅里叶变换的性质
1.傅里叶变换的性质 1.线性性质： 设F(w)=F[f(t)],G(o)=F[g(t)],B为常数，则 F[af(t)+Bg(t)]=aF(ω)+BG(ω) F-1[aF(@)+BG(@)]=af(t)+Bg(t)
1.傅里叶变换的性质 1. 线性性质： 设𝑭(𝝎)=𝓕 𝒇 𝒕 ,𝑮 𝝎 = 𝓕[𝒈 𝒕 ],𝜶,𝜷为常数，则 𝓕 𝜶𝒇 𝒕 + 𝜷𝒈(𝒕) = 𝜶𝑭 𝝎 + 𝜷𝑮(𝝎) 𝓕−𝟏 𝜶𝑭 𝝎 + 𝜷𝑮(𝝎) = 𝜶𝒇 𝒕 + 𝜷𝒈(𝒕)
举例 例1.求下列函数的傅里叶变换 (12sin2t 解：F(w)=F[2sin2t]=2πj[6(w+2)-6(w-2)] (2)3c0S4t 解：F(w)=F[3c0s4t]=3π[6(w+4)+6(w-4)] (3)2cos4t 3sin2t 解：F(w)=F[2cos4t+3sin2t] =2π[6（ω+4）+6(w-4)]+3πj[6(w+2)-6(w-2)]
举例 例1.求下列函数的傅里叶变换 𝟏 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 𝟐 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟒𝒕 𝟑 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒕 + 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 解：𝑭 𝝎 = 𝓕 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 = 𝟐𝝅𝒋[𝜹 𝝎 + 𝟐 − 𝜹 𝝎 − 𝟐 ] 解：𝑭 𝝎 = 𝓕 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟒𝒕 = 𝟑𝝅[𝜹 𝝎 + 𝟒 + 𝜹 𝝎 − 𝟒 ] 解：𝑭 𝝎 = 𝓕 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒕 + 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 = 𝟐𝝅 𝜹 𝝎 + 𝟒 + 𝜹 𝝎 − 𝟒 + 𝟑𝝅𝒋[𝜹 𝝎 + 𝟐 − 𝜹 𝝎 − 𝟐 ]
举例 例2.求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)=sin2t·u(t) sin2t e2jt-e-2jt 2j 解：Tu(l=Ju(④-dt=高+π6(ol r训= u(t)e-jotdt -u(t)[e-Jw-2%-e-J+2jdt =7d2+π6(u-2)-72π6u+2] 42+号r[6(w-2)-w+2]
举例 例2.求下列函数的傅里叶变换 𝟏 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 ∙ 𝒖(𝒕) 解： s𝒊𝒏𝟐𝒕 = 𝒆 𝟐𝒋𝒕−𝒆 −𝟐𝒋𝒕 𝟐𝒋 , ∞− = (��)�� �� +∞ 𝒖(𝒕) 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝒋𝝎 + 𝝅𝜹(𝝎) ∞− = (��)�� �� +∞ 𝒆 𝟐𝒋𝒕−𝒆 −𝟐𝒋𝒕 𝟐𝒋 𝒖(𝒕) 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 = 𝟏 𝟐𝒋 [ 𝟏 𝒋(𝝎−𝟐) + 𝝅𝜹(𝝎 − 𝟐) − 𝟏 𝒋 𝝎+𝟐 − 𝝅𝜹(𝝎 + 𝟐)] = 𝟏 ∞− �𝟐� +∞ 𝒖 𝒕 [ 𝒆 −𝒋(𝝎−𝟐)𝒕 − 𝒆 −𝒋 𝝎+𝟐 𝒕 ]𝒅𝒕 = 𝟐 𝟒−𝝎𝟐 + 𝟏 𝟐𝒋 𝝅[𝜹(𝝎 − 𝟐) − 𝜹(𝝎 + 𝟐)]