拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第三讲 拉普拉斯变换的性质
第三讲 拉普拉斯变换的性质
1拉普拉斯变换的性质 5、微分性质： I.导数的像函数 设F(s)=c[f(t)],则有c[f'(t)]=sF(s)-f(O) c[f"(t)]=s2F(s)-sf(0)-f'(0) C[f"(t)]=s3F(s)-s2f(0)-sf'(0)-f"(0) C[f(n)(t)]=s"F(s)-sm-1f(0)-.-f(n-1(0) f(o)理解为f(t
1.拉普拉斯变换的性质 5、微分性质： Ⅰ.导数的像函数 𝓛 𝒇′ 𝒕 =𝐬𝑭 𝐬 − 𝒇 𝟎 . 𝓛 𝒇 (𝒏) 𝒕 =𝒔 𝒏𝑭 𝒔 − 𝒔 𝒏−𝟏𝒇 𝟎 −.−𝒇 𝒏−𝟏 (𝟎) 设𝑭(𝒔)=𝓛 𝒇 𝒕 ，则有 𝒇 𝒌 (𝟎)理解为 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎+ 𝒇 𝒌 𝒕 . 𝓛 𝒇′′ 𝒕 =𝐬 𝟐𝑭 𝐬 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′(𝟎). 𝓛 𝒇′′′ 𝒕 =𝐬 𝟑𝑭 𝐬 − 𝐬 𝟐𝒇 𝟎 − 𝐬𝒇 ′ 𝟎 − 𝒇′′(𝟎). ⋯
证明：c[f'(t]=estf'(t)dt =e-stdf(t) =f@et+sf④ed证 =sc[f(t)]-f(O)=sF(s)-f(0) 同理：C[f(t)]=sC[f'(t)]-f'(0) =s2F(s)-sf(0)-f'(0) c[fm(t)]=snF(s)-sn-1f(0)-.-fm-1D(0)
�� = �� ′�� �� :证明 +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒇 ′ 𝒕 𝒅𝒕 = 𝐬 𝓛 𝒇 𝒕 − 𝒇(𝟎) = 𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎) 同理：𝓛 𝒇′′ 𝒕 = 𝒔𝓛 𝒇′(𝒕) − 𝒇 ′ 𝟎 = 𝒇 𝒕 𝒆 −𝒔𝒕 ฬ +∞ 𝟎 �� �� + +∞ 𝒇(𝒕)𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 = 𝒔 𝟐𝑭 𝒔 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′(𝟎) �� = +∞ 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒇(𝒕) 𝓛 𝒇 (𝒏) 𝒕 =𝒔 𝒏𝑭 𝒔 − 𝒔 𝒏−𝟏𝒇 𝟎 −.−𝒇 𝒏−𝟏 (𝟎) ⋯
举例 例1：求解微分方程y"(t)+ω2y(t)=0, y(0)=0,y(0)=w. 解：设cy(t]=Y(s),则 C[y"(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y'(0) =s2Y(S)-ω 对方程两边取拉氏变换，y'(t)+ω2y(t)】=0. s2Y(s)-ω+w2Y(S)=0 (s2+w2)Y(s)=ω V(s)=2+o2 C-1Y(s)]=sinat
举例 例1：求解微分方程𝒚 ′′ 𝒕 + 𝝎𝟐𝒚 𝒕 = 𝟎, 解：设𝓛[𝒚(𝒕)] = 𝒀(𝒔),则 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 ] = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝝎 + 𝝎𝟐𝒀 𝒔 = 𝟎 (𝒔 𝟐+𝝎𝟐 )𝒀 𝒔 = 𝝎 𝒀 𝒔 = 𝝎 𝒔 𝟐+𝝎𝟐 𝓛 −𝟏 [𝒀 𝒔 ] = 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚 ′ 𝟎 = 𝝎. 对方程两边取拉氏变换， = 𝒔 𝟐𝒀 𝒔 − 𝝎 𝓛[𝒚 ′′ 𝒕 + 𝝎𝟐𝒚 𝒕 ] = 𝟎