拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
第一讲 拉普拉斯变换的概念
第一讲 拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换 傅里叶变换的局限性： ①函数满足狄氏条件，还要在R上绝对可积，简单线性 函数、正弦、余弦函数等都不满足。 ②引入6函数后，虽拓宽了，但对于以指数级增长的函数 无能为力。 ③定义域须在R上有定义，工程问题是t<0无意义
拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换 傅里叶变换的局限性： ①函数满足狄氏条件，还要在R上绝对可积，简单线性 函数、正弦、余弦函数等都不满足。 ②引入𝜹函数后，虽拓宽了，但对于以指数级增长的函数 无能为力。 ③定义域须在R上有定义，工程问题是𝒕 < 𝟎无意义
1拉普拉斯变换定义 定义：设函数f(t)是定义在[0，+o∞)上的实值函数，如果对于 复参数s=B+jω，积分 +00 F(s)= f(t)e-stdt 在复平面s的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换 简称拉氏变换，记为F(s)=C[f(t)】;f(t)称为F(S)的拉普拉斯 逆变换，简称拉氏逆变换，记为f(t)=c-1[F(s)]: f(t):像原函数 F(S):像函数
1.拉普拉斯变换定义 定义：设函数𝐟(𝐭)是定义在[0,+∞)上的实值函数，如果对于 复参数𝐬 = 𝜷 + 𝒋𝝎,积分 在复平面s的某一区域内收敛,则称𝑭(𝐬)为𝒇(𝒕)的拉普拉斯变换. 简称拉氏变换，记为𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 ; 𝒇(𝒕)称为𝑭(s)的拉普拉斯 逆变换，简称拉氏逆变换，记为𝒇(𝒕)=𝓛 −𝟏 [𝑭(s)]. 𝑭 𝒔 = න 𝟎 +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 −𝒔𝒕𝒅𝒕 𝒇 𝒕 :像原函数 𝑭 𝒔 :像函数
2.拉氏变换于傅氏变换的关系 CIf(t)]=f(t)e-stdt=f(t)e-.e-jwtdt =∫f()u(t)eBte-jot dt F[f(t)u(t)e-Bt] 补充：设s=B+jω，B>0,ω∈R. lim e-st=lim e-Bt-jot lim e-Bte-jot t→+0∞ t→+0∞ t-→+∞ lim e-Bt[cosot-jsinwt] t→十0∞ :lime-Bt=0,lcosωt-jsinωt|=1 t→+o∞ :Lime-st=0.(有界函数与无穷小的乘积)。 t-→+o0
2.拉氏变换于傅氏变换的关系 �� = �� �� �� +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 �� = �𝒅𝒕𝒔�− +∞ 𝒇 𝒕 𝒆 −𝜷𝒕 ∙ 𝒆 −𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞− = +∞ 𝒇(𝒕)𝒖(𝒕)𝒆 −𝜷𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 = 𝓕[𝒇 𝒕 𝒖 𝒕 𝒆 −𝜷𝒕 ] 补充：设𝒔 = 𝜷 + 𝒋𝝎,𝜷 > 𝟎, 𝝎 ∈ 𝑹. 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝒔𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕−𝒋𝝎𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕𝒆 −𝒋𝝎𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕 [𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 − 𝒋𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕] ∵ 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝜷𝒕 = 𝟎, 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 − 𝒋𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏 ∴ 𝒍𝒊𝒎 𝒕→+∞ 𝒆 −𝒔𝒕 = 𝟎 .(有界函数与无穷小的乘积）