傅里叶变换
傅里叶变换
第七讲 卷积
第七讲 卷 积
1.卷积 定义设实值函数f1(t)与f2(t)在(-oo,+∞)内有定义。 若反常积分∫f1(x)f2(t-)dx对任何实数t收敛，则它 定义了一个自变量为t的函数，称此函数为f1(t)与f2(t)的 卷积，即f1(t)*f2(t)=f1()f2(t-t)dr
1.卷积 定义 设实值函数𝒇𝟏 𝒕 与𝒇𝟐 𝒕 在 −∞, +∞ 内有定义。 ∞−若反常积分 +∞ 𝒇𝟏 𝝉 𝒇𝟐 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉对任何实数𝒕收敛，则它 定义了一个自变量为𝒕的函数，称此函数为𝒇𝟏 𝒕 与𝒇𝟐 𝒕 的 卷积，即𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 = ∞− +∞ 𝒇𝟏 𝝉 𝒇𝟐 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉
卷积性质： f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t) f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]+f1(t)*f3(t)
卷积性质： 𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 = 𝒇𝟐 𝒕 ∗ 𝒇𝟏 𝒕 𝒇𝟏 𝒕 ∗ [𝒇𝟐 𝒕 ∗ 𝒇𝟑 𝒕 ] = [𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 ] ∗ 𝒇𝟑(𝒕) 𝒇𝟏 𝒕 ∗ [𝒇𝟐 𝒕 + 𝒇𝟑 𝒕 ] = [𝒇𝟏 𝒕 ∗ 𝒇𝟐 𝒕 ] + 𝒇𝟏(𝒕) ∗ 𝒇𝟑(𝒕)
举例 例1.求下列函数的卷积： fo=e0.9e-e0a” 其中a>0,B>0且a≠B. 00 解：f(t)*g()=f(mg(t-t)d红 ①t<0,g(t-t)=0,f(t)*g(t)=0
举例 例1. 求下列函数的卷积： 𝒇 𝒕 = ቊ 𝒆 −𝒂𝒕 , 𝒕 ≥ 𝟎 𝟎, 𝒕 < 𝟎 , 𝒈 𝒕 = ቊ 𝒆 −𝜷𝒕 , 𝒕 ≥ 𝟎 𝟎, 𝒕 < 𝟎 , 其中𝜶 > 𝟎,𝜷 > 𝟎且𝜶 ≠ 𝜷. 解： 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = න −∞ +∞ 𝒇 𝝉 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 ①𝒕 < 𝟎,𝒈 𝒕 − 𝝉 = 𝟎, 𝒇 𝒕 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝟎