解析函数
解 析 函 数
第六讲 初等丞数之幂丞数
第六讲 初等函数之幂函数
初等函数 1.幂函数 定义1：函数w=za=ealnz（a为复常数，z≠0)称为复变 量z的幂函数，规定：当为为正实数且z=0时，z“=0。 a=n(ne Z+),w zn =eninz =en(nlz+iargz+-2kri=z neinargz单值函数。 a=0,w=e0=1 一般来说：w为多值函数
初等函数 1.幂函数 定义1：函数𝒘 = 𝒛 𝜶 =𝒆 𝜶𝑳𝒏𝒛（𝜶为复常数，z≠ 𝟎)称为复变 量𝒛的幂函数,规定：当为𝜶为正实数且𝒛 = 𝟎时，z 𝜶=0 。 𝛂=n(n∈ 𝒁 +), 𝒘 = 𝒛 𝒏 =𝒆 𝒏𝑳𝒏𝒛 𝛂 = 𝟎, 𝒘 = 𝒆 𝟎 = 𝟏 一般来说:𝒘为多值函数。 = 𝒆 𝒏(𝒍𝒏 𝒛 +𝒊𝒂𝒓𝒈𝒛+𝟐𝒌𝝅𝒊) = |𝒛| 𝒏𝒆 𝒊𝒏𝒂𝒓𝒈𝒛 单值函数
举例 例1：求12，i,(1+i)1-t的值，指出实部与虚部。 解：(1)1V2=ev2Ln1=eV2(lm1+2km) =e2v2kπi=cos2V2km+isin2V2kπ，k∈Z. Re1vE=cos2V2kπ，lm12=sin2V2km, (2)ii eilni ei(lnlil+7i+2kni) -2kn =e2 Reil =e-2kw .Imil =0,k EZ
例1：求 𝟏 𝟐 ，𝒊 𝒊 , （𝟏 + 𝒊）𝟏−𝒊 的值，指出实部与虚部。 解： （1）1 2 = e 2𝑳𝒏𝟏 = e 2(𝒍𝒏𝟏+𝟐𝒌𝝅𝒊) 𝟐 𝒊 𝒊 = 𝒆 𝒊𝑳𝒏𝒊 = 𝒆 𝒊(𝒍𝒏 𝒊 + 𝝅 𝟐 i+𝟐k𝝅𝒊) 举例 = 𝒆 𝟐 𝟐𝒌𝝅𝒊 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒌𝝅 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ 𝒁. = 𝒆 −𝝅 𝟐 −𝟐𝒌𝝅 𝑹𝒆𝒊 𝒊 = 𝒆 −𝝅 𝟐 −𝟐𝒌𝝅 .𝑰𝒎𝒊 𝒊 = 𝟎, 𝒌 ∈ 𝒁. 𝑅𝑒1 2 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒌𝝅, 𝐼𝑚1 2 = 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒌𝝅
(3)(1+i)1-i=e(1-0Ln(1+i) =e(1-0(ml1+i+i+2kπi =e(1-0(lnv2+平i+2kπ) =elnVZ+i+2knl-iln/Z+Z+2km =eln/Z++2kr+i(-In/Z++2kn) Re(1+)-i-VZei+2kcos(-InVZ+). Im(1+)1-1=VZei+2k sin(-Inv+,k E Z
3 （1 + 𝒊）1−𝒊 = 𝒆 (𝟏−𝒊)𝑳𝒏(𝟏+𝒊) = 𝒆 (𝟏−𝒊)(𝒍𝒏 𝟏+𝒊 + 𝝅 𝟒 𝒊+𝟐k𝝅𝒊) = 𝒆 (𝟏−𝒊)(𝒍𝒏 𝟐+ 𝝅 𝟒 𝒊+𝟐k𝝅𝒊) = 𝒆 𝒍𝒏 𝟐+ 𝝅 𝟒 𝒊+𝟐k𝝅𝒊−𝒊𝒍𝒏 𝟐+ 𝝅 𝟒 +𝟐k𝝅 = 𝒆 𝒍𝒏 𝟐+ 𝝅 𝟒 +𝟐k𝝅+𝒊(−𝒍𝒏 𝟐+ 𝝅 𝟒 +𝟐k𝝅) 𝑹𝒆(𝟏 + 𝒊) 𝟏−𝒊= 𝟐𝒆 𝝅 𝟒 +𝟐𝒌𝝅 𝒄𝒐𝒔(−𝒍𝒏 𝟐 + 𝝅 𝟒 ) . 𝑰𝒎(𝟏 + 𝒊) 𝟏−𝒊= 𝟐𝒆 𝝅 𝟒 +𝟐𝒌𝝅 𝒔𝒊𝒏(−𝒍𝒏 𝟐 + 𝝅 𝟒 ), 𝒌 ∈ 𝒁