第二讲 幂级数
无 穷 级 数 第二讲 幂 级 数
无穷级数 1.幂级数的运算 00 定理1.设幂级数 ∑anx和 bnxn的收敛半径分别为R1,R2 n=0 n=0 令R=min{R1,R2},则有： 00 ∑aix±∑bax=∑atbn）xn |x|<R; n=0 n=0 n0 区区-以<R akbn-k k=0
无 穷 级 数 1.幂级数的运算 定理1
无穷级敛 00 定理2.若幂级数 anx”的收敛半径R>0,则其和函数S(x) n=0 在收敛域上连续且在收敛区间内可逐项求导逐项求积分， 运算前后收敛半径相同， SG)-=∑ay-∑nx1,x∈(-R,R) +1 s6waw-ad=∑a+ ,x∈(-R,R) m0 n=0 注：逐项积分时，运算前后端点处的敛散性不变
无 穷 级 数 运算前后收敛半径相同. 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导,逐项求积分
无穷级数 2.几种常见幂级数的和函数 00 1 ∑x”=1+x++x0+=1x ,(-1<x<1) n=0 00 1 >(-10"x=1-x+x2-.+(1”x0+.=1十，(-1x n=0 00 =1+x+2++w=e,R n=0 (-1)” 2n+7元 (-1)” x2m1=x-3++2n+1 x2n+1+.=sinx
无 穷 级 数 2.几种常见幂级数的和函数
无穷级数 00 举例 例1.求幂级数 〉nxn的和函数S(x), n=1 解： 1 xn=1+x+.+x+.= 1-x'(-1<x<1) n=0 两边同时求导： 00 n=1 两边同时乘以x: 00 X nxn=x+.+nx+.= (1-x2=S(),(-1<x<1) n=1
无 穷 级 数 举例 例1. 求幂级数 解： 两边同时求导：