第九讲 方向导数与梯度
多元函数微分法及其应用 第九讲 方向导数与梯度
多元函数微分法及其应用 1.方向导数 定义：若函数f(x,y,Z)在点P(x,y,z)处 沿方向1（方向角为a,B,Y)存在下列极限： Af P(xyz) lim p→0 p 记作 of lim f(x+△x,y+△y,z+△z)-f(x,y,Z) d →0 p p=√（△x)+(△y)2+(△z)2,) △x=pC0S, △y=pcosB,△z=pc0sY 则称为函数在点P处沿方向1的方向导数
多元函数微分法及其应用 1.方向导数 ᵅ ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) ᵰ 处 ) 存在下列极限: ᵄ ′ = 记作
多元函教微分法及其应用 定理：若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 af of af al ax cosa+ I cosB+az cosy ay 其中a,B,Y为的方向角 证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得 /P(xy) af af △f= Ax+y △z+o(p) of 二p0x af osa+ o cos B+Oz -cosy)+o(p) 故 of △f a .f =lim p→0 p cosa af cos阝+a2 cosy
多元函数微分法及其应用 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ᵅ 定理: 且有 得 ᵰ ᵄ ′ 故
多元函数微分法及其应用 对于二元函数f(x,y),在点P(xy)处沿方向1（方向角 为αB的方向导数为 af f(x+△x,y+△y)-f(x,y) lim olpo P =fx(x,y)cosa+fy(x,y)cos B X (p=V(Ax)2+(Ay)2,△x=pcos&,△y=p cosB) 特别： ·当l与x轴同向(a=0,B=)时有 of af -0x ·当l与x轴反向(@=π，B=)时，有 af af al 0x
多元函数微分法及其应用 在点ᵄ (ᵆ ,ᵆ )处沿方向ᵅ (方向角 ᵄ ᵅ ᵆ ᵆ ᵅ 特别: (ᵯ = 0, ᵯ = ᵰ 2 )时,有 ᵅ
多元函教微分法及其应用 例1.求函数u=x2yz在点P(1,1,1)沿向量=(2，-1,3) 的方向导数. 解：向量1=(2，-1,3)的方向余弦为 2 -1 3 p-(2z品-2+y1 9 6 V14
多元函数微分法及其应用 的方向导数