第七讲 空间曲线的切线与法平面
多元函数微分法及其应用 第七讲 空间曲线的切线与法平面
多元函激微分法及其应用 1.空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面
多元函数微分法及其应用 1.空间曲线的切线与法平面 位置. 平面. ᵮ ᵄ ᵄ ᵰ
多元函数微分法及其应用 1.曲线方程为参数方程的情况 :X=φ(t),y=(t),之=ω(t) M 设t=to对应M(xo,yo,2o) t=t。+At对应M(X。+△xy。+Ay竖+Az) 割线MM'的方程： X-X0=y-y0=2-z0 △x △y △z 上述方程之分母同除以△t,令△t→0，得 Z-Zo 切线方程 X一x0_ y-yo φ'(to) '(to)ω'(to)
多元函数微分法及其应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 ᵮ : ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ) 切线方程 ᵆ = ᵆ 0 + ᵮ ᵆ 对应 ᵄ ′ ( ᵆ 0 + ᵮ ᵆ , ᵆ 0 + ᵮ ᵆ , ᵆ 0 + ᵮ ᵆ ) ᵄ ᵄ ᵮ ᵄ ′
多元函教微分法及其应用 此处要求中'(to),'(to),w'(to)不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0. 切线的方向向量： =('(to),'(to),w'(to)) n(t 称为曲线的切向量. 示也是法平面的法向量，因此得法平面方程 φ(to)x-x。)+(t)y-yo)+ω(t)z-2)=0
多元函数微分法及其应用 ᵱ ′ ( ᵆ 0 )(ᵆ − ᵆ 0 ) 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . + ᵱ ′ ( ᵆ 0 )(ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵱ ′ ( ᵆ 0 )(ᵆ − ᵆ 0 ) = 0 如个别为0, 则理解为分子为 0 . ᵰ ᵮ ᵄ 不全为0, 因此得法平面方程 ᵅ ᵅ(ᵆ)
多元函数微分法及其应用 说明：若引进向量函数t)=((t),(t),w(t) ,则口为r(t)的矢端曲线处的导向量而在to r(t)=(φ(t),Ψ(t),w(to)》 就是该点的切向量
多元函数微分法及其应用 说明: 若引进向量函数 ᵅ(ᵆ) = (ᵱ (ᵆ), ᵱ (ᵆ), ᵱ (ᵆ)) , 则 处的导向量 ᵅ ′ ( ᵆ 0 ) = ( ᵱ ′ ( ᵆ 0 ), ᵱ ′ ( ᵆ 0 ), ᵱ ′ ( ᵆ 0 )) 就是该点的切向量. ᵰ ᵮ ᵄ ᵅ ᵅ(ᵆ)