第十讲 多元函数求极值
多元函数微分法及其应用 第十讲 多元函数求极值
多元函激微分法及其应用 1.多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点P0(xo,y0)的某邻域内有 fxy)≤fr) 或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（或极小值）， z=3X +4y z=-vx2+y2 y 100
多元函数微分法及其应用 1.多元函数的极值 ᵈ(ᵉ ,ᵉ ) ≤ ᵈ(ᵉ ᵼ ,ᵉ ᵼ ) ᵆ = 3ᵆ 2 + 4ᵆ 2 ᵆ = ᵆᵆ 100 则称函数在该点取得极大值(或极小值)
多元还数微分法及其应用 定理1（必要条件）：若函数z=f(x,y)在点P(xo,yo)处存在偏导数， 且在该点处存在极值，则：fx(x,yo)=0,y(xoyo)=0. 证明 因为z=f(x,y)在点Po(xo,yo)处取得极值，故 z=f(x,yo)在x=xo处取得极值 z=f(xo,y)在y=yo处取得极值 根据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立。 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值
多元函数微分法及其应用 证明 : 根据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立。 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 但驻点不一定是极值点. 例如, 但在该点不取极值
多元逐数微分法及其应用 定理2（充分条件）：若函数z=f(x,y)在点P。(xo,yo)的某邻域内 具有一阶和二阶连续偏导数，且：fx(xo,y0)=0,y(xo,yo)=0. fxx(xo,yo)=A,fy(xo,yo)=B.fyy (xo,yo)=C. 啡)当ACB的0，兵有数日0秘 2)当AC-B2<0时，没有极值。 3)当AC-B=0时，是否有极值，待定
多元函数微分法及其应用 2) 当AC-B2<0时，没有极值。 3) 当AC-B2=0时，是否有极值，待定
多元函数微分法及其应用 例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值。 解：第一步求驻点. 解方程组.(x,)=3x2+6x-9=0 lf(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，（-3,0)，(-3,2). 第二步判别： fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fvy(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处，A=12,B=0,C=6； AC-B2=12×6=48>0,A>0 故在点(1,0)处f(1,0)=-5为极小值
多元函数微分法及其应用 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别