第四讲 平面方程
向量代数与空间解析几何 第四讲 平面方程
向量代数与空间解析几何 1、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(Xy。) 且垂直于非零向量 n=(A,B,C),求该平面的方程， 任取点M(x,y,z)∈Ⅱ，则有MoM⊥元 故MM.元=0 MoM=(x-Xy-yz-z） A(x-x)+B(y-y)+C(z-Z)=0 ① 称①式为平面的点法式方程， 称为平面法向量
向量代数与空间解析几何 1、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 ᵄ 0 ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 且垂直于非零向量 求该平面的方程. ᵯ ᵆ ᵆ ᵆ ᵄ 0 则有 ᵄ 故 (ᵆ − ᵆ 0 , − ᵆ 0 ,ᵆ − ᵆ 0 ) ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) = 0 称①式为平面的点法式方程, ①
向量代数与空间解析几何 例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面的方程 解：取该平面的法向量为 i=M1M×M1M3 i -3 4 -6 -2 3 =(14,9,-1) 利用点法式得平面的方程 即 14(x-2)+90y+1)-(2-4)=0 14x+9y-z-15=0
向量代数与空间解析几何 = (14, 9, − 1) 14(ᵆ − 2) + 9(ᵆ + 1) − (ᵆ − 4) = 0 14ᵆ + 9ᵆ − ᵆ − 15 = 0 即 ᵄ 1 ᵄ 2 ᵄ 3 解: 取该平面的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 2 3 − 1 − 3 4 − 6
向量代数与空间解析几何 说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6 =0 -2 3 一般情况：过三点Mk(Xky乙k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-y1 Z-Z1 x2-x1y2-y1 Z2-Z1 =0 x3-X1 y3-y1Z3-z1
向量代数与空间解析几何 此平面的三点式方程也可写成 ᵆ − 2 ᵆ + 1 ᵆ − 4 说明: 一般情况 : 过三点 ᵄ ᵅ ( ᵆ ᵅ , ᵆ ᵅ , ᵆ ᵅ ) (ᵅ = 1,2,3) 的平面方程为
向量代数与空间解析几何 特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 +y+z=1 (abc +0) y a b c X 此式称为平面的截距式方程
向量代数与空间解析几何 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. ᵄ (ᵄ ,0,0) , ᵄ (0,ᵄ ,0) , ᵄ (0,0,ᵅ ) ᵆ ᵄ + ᵆ ᵄ + ᵆ ᵅ = 1 时, (ᵄ ,ᵄ ,ᵅ ≠ 0) 平面方程为 ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ