第二讲 常数项级数的性质
无 穷 级 数 第二讲 常数项级数的性质
无穷级数 1.常数项级数的性质 00 性质1.若级数 un收敛于S,则级数 cun收敛于cS. n=1 m=1 说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 00 00 性质2.设有两个收敛级数》 un收敛于s,∑n收敛于o, n=1 n=1 00 则级数 ∑(un士vn)收敛于S士o. n=1
无 穷 级 数 1.常数项级数的性质 性质1. 若级数 则级数 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变. 性质2. 设有两个收敛级数 则级数
无穷级数 说明： (1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减. (2)若两级数中一个收敛一个发散，则 ∑ un士vn)必发散 m=1 00 但若两个级数都发散 ,)(un±vn)不一定发散 n=1 例如，两个级数的一般项相同(un=vn)或互为相 反数时(un=-vn)·
无 穷 级 数 说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 但若两个级数都发散
无穷级数 性质3.在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性 00 00 证：将级数 u的前k项去掉，所得新级数〉， Un+k n=1 n=1 n 的部分和为on=∑ uk+l=Sn+k-Sk 由于n→oo时，0n与Sn+k极限状况相同，故新l旧两级数敛散性相同. 当级数收敛时，其和的关系为σ=S一Sk·
无 穷 级 数 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
无穷级数 性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和： 因为若对收敛级数按某一规律加括弧，新级数的部分和序列 为原级数部分和序列的一个子序列，因此必有新级数与原级 数收敛于相同值。 推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散， 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 如：(1-1)+(1-1)+(1-1)+.=0， 但1-1+1-1+.发散
无 穷 级 数 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和. 因为若对收敛级数按某一规律加括弧，新级数的部分和序列 为原级数部分和序列的一个子序列,因此必有新级数与原级 数收敛于相同值。 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛