第十一章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分
第四讲 平缅上曲线积分与路径 无关的等价条件
曲线积分与曲面积分 第四讲 平面上曲线积分与路径 无关的等价条件
曲线积分与曲面积分 1.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理1.设D是单连通域，函数P(xy),Q(Xy)在D内 具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (1)沿D中任意光滑闭曲线L,有中Pdx+Qdy=0. 2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分Pdx+Qdy 与路径无关，只与起止点有关 (3)Pdx+Qdy在D内是某一函数的全微分， 即du(x,y)=Pdx+Qdy (4)在D内每一点都有 ap aQ
曲线积分与曲面积分 1.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ), ᵄ (ᵆ ,ᵆ ) 具有一阶连续偏导数, (3) 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 的全微分, 即
曲线积分与曲面积分 证明(1为 设，L,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线， 则 J Pdx+Qdy-pdx+Qdy =厂pdx+Qdy+pdx+Qdy A pdx+edy=0 (根据条件(1) Pux+Qdy=Pdx+Qdy 说明：积分与路径无关时，曲线积分可记为 [Pdx A +Qdy -Pdx+Qdy
曲线积分与曲面积分 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设 ᵃ 1 , ᵃ 2 = 0 ᵃ ᵃ ᵃ 1 ᵃ 2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线， 则 (根据条件(1)) 证明 (1) (2)
曲线积分与曲面积分 证明(2)）> 程b内取定点A(Xy。)和任一点B(x,y),因曲线积分 与路径无关，有函数 c(x,y) B(xy) u(x,y)= Pdx+Qdy C(x+△Xy) J(xo,yo) 则△u=ux+△Xy)-u(Xy) A(XV (x+△x,y) (x+△x,y) Pdx+Qdy= Pdx (x,y) (xy) Ju =P(x+0△x,y)△X △xU = 0x lim △x→0△X imP(x+θ△x,y)=P(x,y) △X→0 同理可证 ou ay =Qx,y吵，因此有du=Pdx+Qdy
曲线积分与曲面积分 证明 (2) (3) 在D内取定点ᵃ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 因曲线积分 ᵮ ᵆ 则 ᵆ = ᵆ (ᵆ + ᵮ ᵆ ,ᵆ ) − ᵆ (ᵆ ,ᵆ ) = ᵄ (ᵆ , ᵆ ) = ᵄ (ᵆ + ᵰ ᵮ ᵆ , ᵆ )ᵮ ᵆ 同理可证 = ᵄ (ᵆ , ᵆ ), 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, ᵃ (ᵆ + ᵮ ᵆ ,ᵆ ) ᵃ (ᵆ ,ᵆ ) ᵃ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 有函数