第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第五讲 三重积分的概念
重积分 第五讲 三重积分的概念
重积分 1.三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域☐内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(yz)∈C,求分布在☐内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 n M=lim(5k,k,3k)△v 0 k=1 信5
重积分 1. 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) ᵮ ᵆ ᵅ 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, ᵰ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ∈ ᵃ , 求分布在 内的物质的 可得 ᵄ = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
重积分 定义. 设yz),(yz)∈2， 若对□作任意分割： △y(k=1,2,.,n, 任意取点（传5）∈△y,下列“乘 积和式”极限 m∑f,女)aw记作 Ja fx.y.2)dv k=1 存在，则称此极限为函数fyz） 在止的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作ddz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域□止连续，V为的 体积，则存在（传）∈2， 使得 ∬nfx,y,2)dv=f5sV
重积分 定义. 设ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) , (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ∈ ᵯ , 存在, ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ᵅᵆᵅᵆᵅ ᵆ . 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 ᵮ ᵆ ᵅ ( ᵅ = 1, 2 , ⋯ , ᵅ ), ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) ∈ ᵮ ᵆ ᵅ , 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (ᵰ ,ᵰ ,ᵰ) ∈ ᵯ , 使得 = ᵅ(ᵰ ,ᵰ ,ᵰ)ᵄ V 为的 体积, 积和式” 极限 记作
重积分 2.三重积分的计算 先假设连续函数fyz)≥0， 并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1。投影法（“先一后二”)
重积分 2. 三重积分的计算 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 先假设连续函数 ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: