微 分 方 程
第九讲 欧拉方程
微 分 方 程 第九讲 欧 拉 方 程
微分方程 1.欧拉方程 形如xnym+p1xn-1yn-1)++pn-1xy'+pny=f(x) 的方程称为欧拉方程(p1,p2,.卫n为常数). 解法：作变换x=e,t=nx(x>0) dy =dy,dt =1.dy dx dt dx x dt 器京常-3+2 dx3 dy=D"y,可得
微 分 方 程 1.欧拉方程 形如 解法：
常微分方程 xy'=Dy, xy=D'y-B =D(D-1, 2 x3y'=D3y-3Dy+2Dy=D(D-1)(D-2)y, xym=D(D-1)(D-2).(D-n+1)y, 把上述代入欧拉方程，就得一个常系数线性微分方程， 求出这个方程的解后，把t换成nx,即得原方程的解
微 分 方 程 ᵉ ᵽ ᵉ ′′ = ᵆ ᵽ ᵉ − ᵆᵉ = ᵆ (ᵆ − ᵼ )ᵉ , . 把上述代入欧拉方程，就得一个常系数线性微分方程
微分方程 例1.求方程x3y'+x2y'-4xy=3x2 解：作变换x=e,t=lmx(x>0),原方程化为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e2t 化简得(D3-2D2-3D)y=3e2t 特征方程为 r-2r-3r=0,特征根为r1=0,r2=-1,r3=3 特解为y*=Ae2t,(y*)'=2Ae2t,(y*)'=4Ae2t,(y*)"=8Ae2t, 代入化简后得方程得 8Ae2t-8Ae2t-6Ae2t=3e2t 得A=-把x=e代入通解得 y=C1+x
微 分 方 程 例1. 解: 原方程化为 化简得 特征方程为 ᵉ ᵽ − ᵽ ᵉ − ᵽ ᵉ = ᵼ ， 代入化简后得方程得