第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第五讲 三重积分的概念
重积分 第五讲 三重积分的概念
重积分 1.三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 2 可得 △VK M=} u(5,门k,k)△vk k=1 (5k,n,3k)
重积分 1. 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) Δ𝑣𝑘 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶, 求分布在 内的物质的 可得 lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑀 = 𝜇(𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘)Δ𝑣𝑘 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
重积分 定义.设f(x,y,z),(x,y,z)∈2，若对2作任意分割： △vk(k=1,2,.,n),任意取点(5kk,k)∈△vk下列“"乘 积和式”极限 77 ∑f,1,)A :记作 f(x.y.z)dv k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积则存在（飞，η，）∈2，使得 ∬nfx,y,2)dv=f5,n.)V
重积分 定义. 设𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) , (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω, lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓(𝜉𝑘 , 𝜂𝑘, 𝜁𝑘)Δ𝑣𝑘 存在, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 d 𝑣称为体积元素, 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 Δ𝑣𝑘( 𝑘 = 1, 2 , ⋯ , 𝑛), (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) ∈ Δ𝑣𝑘下列“乘 , 中值定理. 设𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 在有界闭域 上连续, 则存在 (𝜉, 𝜂, 𝜁) ∈ Ω,使得 ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 = 𝑓(𝜉, 𝜂, 𝜁)𝑉 V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作
重积分 2.三重积分的计算 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1。投影法(“先一后二”)
重积分 2. 三重积分的计算 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 先假设连续函数 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: