微 分 方 程
第八讲 主讲人：卢自娟 常系数非齐次线性微分方程
微 分 方 程 第八讲 常系数非齐次线性微分方程 主讲人：卢自娟
微分方程 1.二阶常系数排齐次线性微分方程解的结构 形如：y+四 +W=f(x),（pq为常数f(x)≠0) 方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程， 定理1：设微分方程y"+py+qy=f(x)的一个特解为y(x), 其对应的齐次线性微分方程y"+py+qy=0,的通解为Y(x), 则非齐次线性微分方程的通解为： y=Y(x)+y"(x)
微 分 方 程 1. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 定理1： 形如： 方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程. ᵉ ′′ + ᵉᵉ ′ + ᵉᵉ = ᵈ(ᵉ ),（ᵉ 、为常数,ᵈ(ᵉ ) ≠ ᵼ ） 则非齐次线性微分方程的通解为：
微分方程 定理2：设微分方程y"+py+qy=f1(x)的一个特解为y1*(x), y'+py+qy=f2(x)的一个特解为y2(x), 则y"+py+qy=f1(x)+f2(x)的一个特解为： y=y1*(x)+y2*(x) 因为：y1*”+py1*'+qy1*=f1(x) y2*′′+p2*′+gy2=2(x) 而：（y1*”+y2*")+p(y1*'+y2*')+q(1*+y2*) =fj(x)+f2(x)
微 分 方 程 定理2： ᵉ ᵽ ∗ ′′ + ᵉ ᵉ ᵽ ∗ ′ + ᵉ ᵉ ᵽ ∗ = ᵈ ᵽ (ᵉ ) = ᵈ ᵼ (ᵉ ) + ᵈ ᵽ (ᵉ )
微分方程 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 类型1：f(x)=exPm(x),其中为常数，Pm(x)为x的 次多项式，则y"+py+qy=f(x)的特解形式如下： (1)2≠r1,≠r2,则y*(x)=Qm(x)ex (2)2=r1,1≠r2,则y*(x)=xQm(x)e1x (3)1=r1=r2,则y*(x)=x2Qm(x)e1x 其中Pm(x)与Qm(x)都是x的m次多项式
微 分 方 程 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解