微 分 方 程
第七讲 主讲人：卢自娟 常系数齐次线性微分方程
微 分 方 程 第七讲 常系数齐次线性微分方程 主讲人：卢自娟
分方程 I.二阶常系数齐次线性微分方程的形式 形如：y”+P(x)y+Q(x)y=0 的微分方程称为二阶齐次线性微分方程 y +四′ +四=0，(pq为常数) 方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。 y+B四+g=0，(pq不全为常数) 方程称为二阶变系数齐次线性微分方程
微 分 方 程 Ⅰ.二阶常系数齐次线性微分方程的形式 形如： 的微分方程称为二阶齐次线性微分方程 方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。 ᵉ ′′ + ᵉᵉ ′ + ᵉᵉ = ᵼ ,（ᵉ 、ᵉ 为常数） ᵉ ′′ + ᵉᵉ ′ + ᵉᵉ = ᵼ ,（ᵉ 、ᵉ 不全为常数） 方程称为二阶变系数齐次线性微分方程
微分方 程 Ⅱ.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 方程y”+py+qy=0,(p、q为常数) 猜想：y=erx为微分方程的解. 2 Ix y =re y=re 代入微分方程得： 2 Ix re +pe"tge"=0 X e(++q)=0 因为：erx≠0，只需r2+pr+q=0
微 分 方 程 Ⅱ.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ᵉ ′ = ᵉ ᵈ ᵉᵉ ᵉ ′′ = ᵉ ᵽ ᵈ ᵉᵉ 代入微分方程得： ᵉ ᵽ ᵈ ᵉᵉ + ᵉᵉ ᵈ ᵉᵉ + ᵉ ᵈ ᵉᵉ = ᵼ ᵈ ᵉᵉ (ᵉ ᵽ + ᵉᵉ + ᵉ ) = ᵼ
微分方程 定义1： 方程r2+pr+q=0称为微分方程 y”+py+qy=0的特征方程. y"+py+qy=0的通解 △=p2-4q,C1,C2为任意常数 △>0 不同实根r1,T2 y Cierix+Czer2x △=0 相等实根r=r1=r2y=C1er1x+xC2e1x △<0 共轭复根r12=au±Biy=ex[C1 cos Bx+C2 sin Bx]
微 分 方 程 定义1： ∆ > ᵼ ∆ = ᵼ ∆ < ᵼ