第十一章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分
第乳讲 高斯公式与斯托克斯公式
曲线积分与曲面积分 第八讲 高斯公式与斯托克斯公式
曲线积分与曲面积分 1.高斯公式 定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲 面所围成，的方向取外侧，1 函数P,Q,R在 口上有连续的一阶偏导数，则有 ∂P aQ aR +0z dxdydz (Gauss公式) -fpdydz+Qdzdx+Rdxdy
曲线积分与曲面积分 1.高斯公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , 面所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)
曲线积分与曲面积分 例1.用Gauss 公式计鳅 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中为柱面x2+y=1 2 及平面z=0,z=3所围空间 闭域的整个边界曲面的外侧， 解：这里P=y-z)x, Q=0, R=X-y利用Gauss公式，得 原式=[y-z)dxdydz(用柱坐标 X oraraino-dz 9π = 2
曲线积分与曲面积分 例1. 用Gauss 公式计算 其中为柱面 ᵆ 2 + ᵆ 2 = 1 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) ᵆ 3 ᵆ 1 ᵆ ᵄ = (ᵆ − ᵆ )ᵆ , ᵄ = 0, ᵄ = ᵆ − ᵆ
曲线积分与曲面积分 例2.设2为曲面z=2-x2-y2,1≤z≤2取上侧，求 I-z+x)dydz-xyzdzdx-x2dxdy. 解：作取下侧的辅助面 ∑z=1 (x)eD:x +y s ≤1 - 用柱坐标 用极坐标 Σ+1 =川addz-(-)nn-dxdy =aanaraz-os2a0rar
曲线积分与曲面积分 例2. 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 ᵯ 1 :ᵆ = 1 (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ ᵆᵆ : ᵆ 2 + ᵆ 2 ≤ 1 = ᵰ 4 ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ 2 1 ᵯ ᵯ 用柱坐标 用极坐标 1