曲线积分与曲面积分 证明(3> 设存在函数u(x,y)使得 du=p dx+Qdy B 则 成=Px,y), = ay Q(x,y) ap 82u aQ 82u ay axay 0x ay∂x P,Q在D内具有连续的偏导数，所以 82u 82u axay ayax 从而在D内每一点都有 aP aQ ay 0x
曲线积分与曲面积分 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有
曲线积分与曲面积分 证明（4)2 设为D中任一分段光滑闭曲线，所围区域为DcD (如图)，因此在D'上 ap aQ dy F∂x 利用格林公式，得 fPa+Qay-儿（器股udy =0 证毕
曲线积分与曲面积分 证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, ᵃ ′ ⊂ᵃ (如图) , 利用格林公式 , 得 = 0 所围区域为 证毕