第四讲 正项级数及其收敛法
无 穷 级 数 第四讲 正项级数及其收敛法
无穷级数 1.正项级数的审敛性 0∞ 定义1.若un≥0，则级数 )un称为正项级数！ 00 n=1 定理1.正项级数 1 n收敛≤部分和序列Sn(n=1,2,.)有界. n=1 00 证：→若级数 〉un收敛， 则部分和数列{Sn}收敛，故{Sn}有界， n=1 ←一：un≥0，部分和数列{Sn}单调递增，又已知{Sn}有界， 00 故{Sn收敛，从而>un收敛 n=1
无 穷 级 数 1.正项级数的审敛性 则级数 定理1.正项级数 证:
无穷级数 00 定理2.（比较审敛法）设4， vn是两个正项级数， n=1 m.=1 un≤vn(n=1,2,.) 00 (1)若”大“级数〉vn收敛，则"小"级数也) un收敛. n=1 n=1 00 00 (2)若”小“级数∑um发散，则“大“级数也) vn发散。 n=1 n=1
无 穷 级 数 定理2. (比较审敛法) 设
无穷级数 举例 1 例1.判定级数 的敛散性， n=ivn(n+1) 1 1 1 解：“Vnn+万>m+1m+面 n+1 因为级数 1 发散，所以级数 n+1 n=1 1 一也发散
无 穷 级 数 举例 例1. 判定级数 的敛散性. 解： 所以级数
无穷级数 00 推论.（比较审敛法）设 ∑，∑ n是两个正项级数，且存在 n=1 n=1 正整数N,使得当n≥N时，un≤kvn(k>0)成立， (1)若”强“级数)un收敛，则"弱"级数∑也收敛. n=1 n=1 (2)若”弱“级数 un发散，则“强"级数 vn也发散. n=1 n=1
无 穷 级 数 推论. (比较审敛法) 设