第五讲 函数展开成幂级数
无 穷 级 数 第五讲 函数展开成幂级数
无穷级数 1.泰勒公式 定义1.若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在该邻 域内有f)=f(xo)+f'(xo)(x-o)+f"C 21 2x-xo)2+ +fx-x+R.因 n! 此公式称为n阶泰勒公式： Rw=f+1( (n+1)! (x-o)m+1 (介于x与x之间) 称为拉格朗日余项
无 穷 级 数 1.泰勒公式 （ᵴ 介于ᵉ ᵼ与ᵉ 之间） 称为拉格朗日余项
无穷级数 2.泰勒级数 定义2.若函数f(x)在x,的某邻域内具有任意阶导数，则称公式 f=f0+fox-0+"026x-o2+ +ox-o+ 为泰勒级数
无 穷 级 数 2.泰勒级数 为泰勒级数
无穷级敛 3.麦克劳林级数 定义3.若函数f(x)在xo=0的某邻域内具有任意阶导数，则称公式 f=fo)+fox+f0++o0+ 为麦克劳林级数
无 穷 级 数 3.麦克劳林级数 为麦克劳林级数
无穷级数 定理1.设函数f(x)在xo的某邻域U(xo)内具有各阶导数，则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项满足limR(x)=0. n→0o 定理2.若函数f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式唯一， 且与它的麦克劳林级数相同
无 穷 级 数