对(1)，(2)两种情形，显然B中与D.对应的 子式D,=D,≠0，故R(B)≥r 对情形(3)， D,=+k灯 =n+kr;=D+kd, 若D,≠0， 因D.中不含第i行知A中有不含第i行的r阶 非零子式， .R(B)≥r. 上一项不页返回首页
0, ( ) . (1),(2) D D R B r B D r r r 子式 = 故 对 两种情形，显然 中与 对应的 对情形 (3)， , ˆ i j i j r r Dr = r + kr = r + k r = D + kD 0, 若D ˆ r , ˆ 非零子式 因 Dr 中不含第 i 行知 A中有不含第 i 行的 r 阶 R(B) r. 上一页 下一页 返回首页
若D.=0,则D,=D,≠0，也有R(B)≥r 若A经一次初等行变换变测R(A)≤R(B). 又由于B也可经一次初等变换为A, 故也有R(B)≤R(A). 因此R(A)=R(B), 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变. 设A经初等列变换变为B,也有R(A)=R(B), 上一页入不页返间首页
0, 若D ˆ r = 若A经一次初等行变换变为 B， 则R(A) R(B) . 又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, D D 0, R(B) r. r 则 r = 也有 因此 R(A) = R(B). 故也有 R(B) R(A). 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变． 设A经初等列变换变为B,也有R(A) = R(B). 上一页 下一页 返回首页