第二节方阵的特征值与特征向量 线性代教
第二节 方阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念 定灯设A是n阶矩阵如果数2和n维 非零列向量使关系式 Ax=Ax 成立那么这样的数称为4的特征值 非零向量称为方阵的对应与特征 的特征向量。 说明1.特征向量≠0，特征值问题 是对方阵而言的
一、特征值与特征向量的概念 设A是n阶矩阵, 如果数和n维 非零列向量x使关系式 成立，那么，这样的数 Ax = x 称为A的特征值， 非零向量x 称为方阵A的对应与特征值 的 定义1 特征向量。 说明 1. 特征向量x 0,特征值问题是 是对方阵而言的
(2)由定义Ax=2x→(A-2E)x= 0 一个齐次方程组阶方阵A的特征橄 就是使A-E)x=0有非零解的龇 时的解向就是4的对应于该特征值 特征向量。 (3)(A-E)x=0是n元n个方程的) 程组，有非零解的充分必要是 A-E=0 (回看克拉默法
(2)由定义 Ax = x 此 n阶方阵A的特征值 (A− E)x = 0 一个齐次方程组， 特征向量。 时的解向量 就是使(A− E)x = 0 有非零解的值; (3) (A−E)x = 0 (回看克拉默法则) 有非零解的充分必要条件 是 是n元n个方程的方 A− E = 0 程组, 就 是A的对应于该特征值的
3.A-E=0 011-2 12 n L21 022-九 Q2n =0 Anl 称以2为未知数的一元n次方程A-2E=0 为A的特征方程. 记f(2)=A-E,它是的n次多项式称其 为方阵A的特征多项式
3. A − E = 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − n n nn n n a a a a a a a a a 称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式
4.设n阶方阵A=(4)的特征值为入，2，. 2n,则有 (1)九1+22+.+九m=11+422+.+0m (2)2乙2.九n=A. 例已郎阶矩阵A的特征值为，2,3，证明A可逆并求A* 解 A =1×2×3=6≠0， 。 A可逆， 4"=44- 又A=AA=6A=63A =63A=63×61=36
( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij = (1) ; 1 + 2 ++ n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12 n = A 例1 已 知3阶矩阵A的特征值为1，2，3, 证明A 可逆 . 并求A 解 A = 123 = 6 0, A可逆， −1 又A = A A 1 6 − = A 3 1 6 − = A 3 1 6 − = A 3 1 6 6 − = = 36. * −1 A = A A