第三节相似矩阵 线性代教
第三节 相似矩阵
相似矩阵与相似变换的概念 定义7设A,B都是n阶矩阵若有可逆阵 使 P-AP=B 则称B是A的相似矩陈或说矩 与B相似对A进行运算P-1AP称为 对A进行相似变换知逆矩碑称为 把A变成B的相似变换矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 若有可逆阵 则 称B是A的相似矩阵, 定义7 使 P AP = B −1 或说矩阵A 对A P AP 进行运算 −1 可逆矩阵P 称为 设A,B都 是n阶矩阵, P, 与B相似. 对A进行相似变换, 把A变 成B的 称为 相似变换矩阵
相似矩阵与相似变换的性质 1. 等价关系 (1)反身性A与A本身相似.：E-1AE=A) (2)对称性若A与B相似则B与A相似 (3)传递性：若A喁B相似写C相凤=A) 则A与C相似 2. p-报-9￡=0c0 3. 若A楫谢品厢贺死整坳 (若PPP2频B=B.B =(P-AP)(P-AP).(P-AP)=P-AP.)
二、相似矩阵与相似变换的性质 1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. ( ) 1 E AE = A − (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似. P (A1 A2 )P 1 2. − ( )( ). 2 1 1 1 P A P P A P − − = 3.若A与B相似, 则A m 与B m 相似(m为正整数). ( 1 P AP = B − 1 1 1 ( ) − − − P BP = A) P AP = B −1 Q BQ = C −1 −1 即B = QCQ −1 −1 P AP = QCQ Q P APQ = C −1 −1 PQ A PQ = C − ( ) ( ) 1 P A A P P A1 EA2 P 1 1 2 1 − − = P A PP A2 P 1 1 −1 − = ( , 1 P AP = B 若 − B BB B 则 m = ( )( ) ( ) 1 1 1 P AP P AP P AP − − − = .) 1 P A P − m =
4.P-1(k1A1+k242)P =kPAP+kP-AP 其中k1,k2是任意常数. 定理若n阶矩阵A与B相似则A与B 的特征多项相夙而A与B的特征信值 亦相同。 证明 A与B相似→ヨ可逆阵P,使 PAP=B
P (k1 A1 k2 A2 )P 1 4. + − k P A P k P A2 P 1 1 2 1 1 − − = + , . 其中k1 k2是任意常数 定理1 若n阶矩阵A与B相 似,则A与B 的特征多项相同，从 而A与B的特征值 亦相同。 证明 A与B相似 可逆阵P, 使 P AP = B −1
故B-E=P-AP-P'(2E)P =|P-(A-E)P P-A-RE P =A-E. 即 A与B的特征多项式相同 (特征方程亦相同，植体相同 问特征值相同矩阵会相似吗？ 由此定理我们有下面有用的推论
1 = − − P AP = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . 故 B− E P ( E)P 1 − 即 A与B的特征多项式相同 (特征方程亦相同，特征值亦相同) 问 特征值相同，矩阵会相似吗？ 由此定理, 我们有下面有用的推论