第三节向量组的秩 线性代教
第三节 向量组的秩
向量组的秩及最大线性无关向量组 定义5 设有向量纽，如果在A中能选出个 向量41,2，.，a,满足 ) 向量组4：1，a2,0,线性无关： (2) 向量组中任意r+1个向量如果4中有 r+1个向量的都线性相关那么称向量组 是向量纽的一个最大线性无关向量组（简称最 大无关组最大无关衡含向量的个数称为 向量组的秩起作R4·(只含零向量的向量 有最大无关组规定它的秩)
一、向量组的秩及最大线性无关向量组 定义5 设有向量组A，如果在A中能选出r个 向量1 ，2 ，，r 满足 （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 都线性相关， （2）向量组A中任意r + 1个向量 r +1个向量的话) （如果A中有 的一个最大线性无关向量组 那么称向量组A0 是向量组A 大无关组); (简称最大 最大无关组所含向量的个数r 称为 向量组的秩， . 记作RA (只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它的秩为0)
二、矩阵与向量组秩的关系 对于只含有限个向量量组A:41,42,.,4m, 它可以构成矩隙=(41,2，4m).我们来看看 向量组A的秩和它构成的矩的秩的关系。 定理6矩阵的等于它的列向癣秩， 也等于它的伺量组的秩 证设A=(41,.,4m),R(A)=r,并设r阶子式D,≠0. 根据4.2定理4由D,≠0知所在的列向量线性无 又由A中所有r+1阶子式均为零知A中任意
二、矩阵与向量组秩的关系 : , , , , 对于只含有限个向量的向量组A a1 a2 a m ( , , , ). 它可以构成矩阵A= a1 a2 a m 我们来看看 向量组A的秩和它构成的矩阵A的秩的关系。 定理6 等于它的列向量组 证 设A = (a1 , ,a m )，R(A) = r,并设r阶 根据4.2定理4由Dr 0知所在的 又 由A中所有r + 1阶子式均为零， 知A中任意 矩阵的秩 的秩， 也等于它的行向 量组的秩. r列向量线性无关； 0. 子式Dr
r+1个列向量都线性相函此D,所在的r列是 A的列向量的一个最誼所以列向量组的 等于r. 类似可证A的行向量组的秩也等R(A). 向量组a1,a2,am的秩也记作 R(a1,42.,4m: 从上述证明中可得下面个有用结论： 结论若D,是矩阵A的一个最高阶非零D, 所在的列即是列向量组的个最大无关组， D所在的行即是行向量组的一最既关组
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式， ( , , , ). R a1 a2 a m 结论 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 r + 1个列向量都线性相关. 从上述证明中可得下面一个有用结论： 因此Dr 所在的r列是 等于r. 则Dr 即是列向量组的一个最大无关 组， 即是行向量组的一个最大无关组. 所在的r列 Dr 所在的r行
说明 )最大无组一般不唯一； 举例说明如下： 例如在上节的例中 2 ,2 2 ,3 4 5 1 0 2 构成矩阵4=(41,2,3)= 1￥2 4 1 5
说明 （1）最大无关组一般不唯一; 举例说明如下： 例如在上节的例5中 , 7 4 2 , 5 2 0 , 1 1 1 1 2 3 = = a = a a ( , , ) 构成矩阵A= a1 a2 a3 , 1 5 7 1 2 4 1 0 2 =