第五节二次型及其标准形 线性代教
第五节 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 定义1 含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,n)=1x子+a2号++amx7 +20121X2+2013X1X3+.+20m-l,mXn-1xm 称为二次型 当是复数时，称为复二次型； 当a,是实数时，称为实二次型
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 称为二次型
只含有平方项的二次型 f=ky+ky+kny 称为二次型的标准形（或法式） 例如 f(x1,x2,x3)=2x+4x号+5x3-4xx f(K1,x2,x3)=x12+x3+x2x3 都为二次型； f(,2,x3)=x+4x3+4x号 为标准形的二次型
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为标准形的二次型. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
二次型的表示方法 1.用和号表示对二次型 f(x1,x2,xn)=411x2+a2x号+.+amx +2a12S&2+2413X1x3+.+20-LnXm 取an=,则2a写xxj=xx+aj,于是 f=41x+412x1x2+.+41nx +421X2X1+422X2+.+2nx2xn 十. +1ny1+a2xx2+.+anx好 411+a2x2++amx )=∑ aijxixj i,j=1
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法 ai1 xi x1 + ai2 xi x2 ++ ai nxi xn i = 1 n = ( )
2.用矩阵表示 f=42+42X飞2+.+1m51飞 +21飞2x1+2x号+.+42n3x 十. +nnS+0n2xnS2+.+amx子 =1(11X1+412X2+.+41mXn) +x2(☑21+22X2+.+2mXn) 十 xn(anx+an2x2++annxn) 11X1+122+.+41mXn 21x+a22x2++2nxn =（X1,x2,3Xn) anlX1+Ln2x2+.+AnnXn
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) = x1 a1 1 x1 + a1 2 x2 ++ a1n xn ( ) + x2 a2 1 x1 + a2 2 x2 ++ a2n xn + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , ) ( ) + xn an1 x1 + an2 x2 ++ ann xn