第四节对称矩阵的对角化 线性代数
第四节 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵。 定理5对称矩阵的特征值为实数， 证明设复数2为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=x,x≠0. 用元表示2的共轭复数，表示x的共轭复向量 则 Ax=Ax=(Ac)=(2x)=元x
定理5 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
于是有 xTAx=xT(Ax)=xTAx=AxTx, 及xAx=Ak=(Ax=(y长xx. 两式相减，得 (-)xx=0. 但因为x≠0， 所以 x=含，=含x≠0，→a-刃=0， 即2=几，由此可得2是实数
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理1的意义 由于对称矩阵4的特征值孔：为实数 所以齐次线性方程组 (A-λ：E)x=0 是实系数方程组 由A一几：E=0知该方程组必有实的解藤 从而对应的特征向量取实向量
定理1的意义 由于对称矩阵 的特征值 为实数, A i 所以齐次线性方程组 (A− E)x = 0 i 是实系数方程组, 由A− i E = 0知该方程组必有实的基础解 系 从而对应的特征向量可以取实向量
定理6 设2,2是对称矩阵4的两个特征在 p1,p2是对应的特征诺1≠，则p1与P2 正交。 证明入1P1=Ap1,九2P2=Ap2,元1≠九2， A对称即A=AT, .p=(p)Y=(4p) =P A=pA, 于是p7P2=pAp2=pT(2P2）
定理6 , , 设1 2 是对称矩阵A的两个特征值 , . p1 p2 是对应的特征向若1 2， 则p1 与 2 p 正交。 , T 即A = A 证明 , 1 p1 = Ap1 , 2 p2 = Ap2 , 1 2 A对称, ( ) T T 1 p1 = 1 p1 ( ) T = Ap1 p A T T 1 = , 1 p A T = 于是 p p A T T 1 1 1 = ( ) p1 2 p2 T p2 p2 =