第五章习题课 线性代教
第五章 习题课
2004-20052004年2月 7.如果n阶矩阵4A满足ATA=E,则A= ±1 AA=E→AA=1→A2=1 8.如果向量=(2,3,2t-1)7与向画=(2，-t,3)正交 则1=⅓ [a,b]=0→4-3t+3(2t-1)=0→3t+1=0 9.设3阶方阵4的特征值分别为，1，-1，且3阶方阵B与 A相似，则2B2-3B+2E=4×1×7=28 .·A与B相似， p(B)=2B2,-3B+2E B的特征值也为1，-123=2x23x+2 p(2)=4.p(1)=10(-1)=7
2004 − 2005(2004年12月) 一、 ⒎ n A A A = E A = 如果 阶矩阵 满足 T ,则 . A A E T = A A = 1 T 1 2 A = 1 ⒏ 如果向量a = (2,3,2t − 1)T 与向量b = (2,−t,3)T 正交， 则 t = . a , b = 0 4 − 3 t + 3 ( 2 t − 1 ) = 0 3t +1 = 0 3 − 1 ⒐ 设3阶方阵A的特征值分别为2 ， 1 ， − 1 ， 且3阶方阵B 与 A相似，则 2B − 3B + 2E = 2 . A与B相似， B的特征值也为2，1，−1，(B) 2B 3B 2E 2 = − + ( ) 2 3 2 2 x = x − x + (2) = 4.(1) = 1. (−1) = 7. 417 = 28
10.设a和b都是长度的列向量耳a,b=1 则a+2b,u-b=-3 a+2b,a-b]=[a,a-b]+[2b,a-b] =[a,m]-[a,]+2,a-] =la-1+2,a]-2b,b]=22-1+2-2*22 =-3. 二、解答题 6.P130例4
⒑ 设 a 和 b都是长度为2的列向量，且a,b = 1 则a + 2b,a − b= a + 2b,a − b= a,a − b+ 2b,a − b = a,a−a,b + 2b,a − b 1 2 = a − + 2b,a− 2b,b 2 1 2 = − 2 + 2− 2* 2 = −3. −3 二、 解答题 ⒍ P130 例14
证明题 2.设U为可逆矩阵料=UTU,证明f=xAx为正定 证明为可逆矩阵 分析对任一x≠0， ·.对任一x≠0， 必有Ux≠0， f=xTAx =xTUTU 从而对任一x≠0， f=xTUTUx =(Ux)"(Ux) =(Ux)"(Ux) =[Ux,Ux]≥0 =[Ux,Ux>0. 可不可以只大矿 只要x≠0即可， 所以是正定的 而由可逆
三、证明题U A U U, T ⒉ 设 为可逆矩阵，= 证 明f = x T Ax为正定的 证明 U为可逆矩阵 对任一x 0, 必有Ux 0, 从而f x U Ux T T = (Ux) (Ux) T = = Ux,Ux 对任一x 0, 0. 所以f是正定的。 分析f x Ax T = 对任一x 0, x U Ux T T = (Ux) (Ux) T = = Ux,Ux 0 可不可以只大于0 只要Ux 0即可， 而由U可逆
2004-2005(2005年月 单项选择题 6.若【】，则n阶方阵A与B相似。 (A)A=B (B)R(A)=R(B),(C)A-AE=B-AE (D)A与B有相同的特征值，并金特征值各不相 可逆矩阵P使P-1AP=B 8设二次理=xTA(AT=A),则下列说法不正确的 (A)若f正定侧A>0 P133 (B)若f的负愤性指数则f正定， (C)若f正定，则的负惯性指数为 定理10,11 (D)若f正定则A的各阶主子式皆大
2004− 2005(2005年1月) 一、单项选择题 ⒍ 若 【 】, 则n阶方阵A与B相似。 (A) A = B (B) R(A) = R(B), (C) A− E = B− E (D) A与B有相同的特征值，并且n个特征值各不相同。 P P AP = B 可逆矩阵 使 −1 f x Ax(A A), T T 设二次型 = = 则下列说法不正确的是 若f正定，则A 0 若f的负惯性指数为0， ⒏ (A) (B) 则f正定， (C) 若f正定，则f的负惯性指数为0， (D) 若f正定，则A的各阶主子式皆大于0. P133 定理10，11