第五节向量空间 线性代教
第五节 向量空间
、 向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合，如果集合非空， 且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间. 说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则x+B∈V; 若a∈V,∈R,则a∈V, 2.n维向量的集合是一个向量空间，记作R
说明 若 V, R, 则 V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 + V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指
例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数 乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3. 类似地，n维向量的全体R”,也是一个向量空 间
3 , 3 例 1 维向量的全体R 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数 . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空 是一个向量空间
例2判别下列集合是否为向量空间. Y={x=(0,x2,xn)x2,.,xn∈R} 解因为对于'的任意两个元素 a=(0,2,an)Y,B=(0,b2,bn)Y∈y, 有a+B=(0,a2+b2,4n+bny∈Y 2a=(0,m2,2mn）'∈y. 所以V是向量空间
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 . 所以V1 是向量空间 因为对于V1 的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
例3判别下列集合是否为向量空间. 2={=(1,x,xnx2,.,x∈R 解 因为若a=(1,2,n）Y∈y2, 则2a=(2,22,.,2an)'eV2 V,不是向量空间
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n