第三节逆矩阵 线性代教
第三节 逆矩阵
逆矩阵的概念和性质 定义7对于n阶方阵4，如果有一个阶矩阵B 使得、AB=BA=E, 厕说矩阵是可逆的并把矩阵B称为A的 逆矩阵 8=》- 例 'AB=BA=E∴.B是A的一个逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质 定义 7 如果有一 个n阶矩阵B , AB = BA= E, 对于n阶方阵A, 使得则说矩阵A是可逆的， BA= E 并把矩阵B 逆矩阵。 称为A的 例 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = B是A的一个逆矩阵. 设
说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E. 可得B=EB=(CAB=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的.A的逆矩阵记作A. 即若AB=BA=E,则B=A
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的. . −1 A的逆矩阵记作A , . −1 即 若AB = BA = E 则B = A
定理塑 若矩阵4可逆，则侧A≠0. 证明A可逆，即有A,使AA=E. 故A×A=|E=1, ∴.A≠0. 定理若A≠0，则矩阵4可逆，且 '=有，共中为矩阵的件随阵 证明曲上节伴随阵的性质 AA"A"A=AE, AA=E, A
定理1 若矩阵A可逆，则A 0. 证明 . 1 1 A A AA = E 可逆，即有 − ，使 − 1, 1 = = − 故A A E , 1 1 * A A A = − A 0. 其中A * 为矩阵A的伴随阵。 由上节伴随阵的性质知 , * * AA = A A = AE 定理2 若A 0,则矩阵A可逆，且 证明 A 0, , 1 1 * * A A E A A A A = =
A=A=4c344=(A=E, 按逆矩阵的定义得 A1=1 A(仁 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时，A称为奇异矩阵当A≠0时，A称为 非奇异矩阵 由此可得A是可逆阵的充要条件4≠0， 即可逆矩阵就是非阵
AA = A A = AE ) , 1 ) ( 1 ( A A E A A A A = = −1 A 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A 时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件A 0, 即可逆矩阵就是非奇异矩阵。 1 * A A = ( ). A A =