模拟题三 一、填空题（本大题共10小题，答对一题得3分，共30分） 1.排列963547218的逆序数为 la b cl la-c a+bb+2c 2.d e f=1,d-f d+ee+2f= g h i g-i g+hh+2i mr+y-2=0 3.方程组2x-y-:=0有非零解则m= x+y+2z=0 46 = 5.4=2,则34-A= 6.(A)=八，那么方程组AK=b有唯一解的充要条件是 7.若Ra,a,a)<m则向量组 8.若AB=O,则R(4)+R(B) 9.x=L,2a-1,3a)7,y=(l,a)7,且x与y正交，则a= 04名的特征值为1,2则e创-一 二、判断正误（体大题共5小题对一道题得三分，共15分） 1.任何一个全排列都可以经过有限次对换后成为标准排列() 2.若AB=O,则4，B中至少有一个为零矩阵() 3.7,2是4r=b(b≠0)的两个不同的解向量，则r=c(2-n)+n 是该方程的通解() 4.等价的向量组的秩也相同.() 5.若AK=x,则1是A的特征值.() 三、计算题（本大题共5小题共50分） 线性代数试题第1页（共2页）
线性代数试题 第 1页（共2页） 模 拟 题 三 一、填空题（本大题共 10 小题，答对一题得 3 分，共 30 分） 1. 排列 963547218 的逆序数为 2. g h i d e f a b c =1 , 则 g i g h h i d f d e e f a c a b b c 2 2 2 − + + − + + − + + = 3. 方程组 + + = − − = + − = 2 0 2 0 0 x y z x y z mx y z 有非零解, 则 m = 4. = −1 3 4 1 2 5. A3 = 2 , 则 1 * (3A) − A − = 6. R(A ) r, mn = 那么方程组 Ax = b 有唯一解的充要条件是 7. 若 R(a1 ,a2 ,., am ) m,则向量组 8. A B O, R(A) R(B) 若 mn ns = 则 + 9. x = a − a y = a x y a = (1,2 1,3 ) T , (1,1, ) T ,且 与 正交,则 10. 的特征值为 = 2 1 b a A 1, -2 ,则 (a,b) = 二、判断正误(本大题共 5 小题,对一道题得三分,共 15 分) 1. 任何一个全排列都可以经过有限次对换后成为标准排列( ) 2. 若AB = O,则A,B中至少有一个为零矩阵. ( ) 3. , ( 0) , ( ) 1 2 = = 2 −1 是Ax b b 的两个不同的解向量 则x c + 1 是该方程的通解( ) 4. 等价的向量组的秩也相同.( ) 5. 若 Ax = x, 则 是 A 的特征值.( ) 三、计算题(本大题共 5 小题,共 50 分)
11 23 0-1 231 计算行列式，并且计算A,-A,+244(6分) -101 11021 2.101X=2-2,求x (8分) 01130 3.a1=1,2,-1,4),a2=(9,100,10,4),a=(-2,-4,2,8)7 a4=(8,98,11,16)',(1)求向量组的秩.(2)判断向量组的线性相关性.(3)如果线性相关，求 它的一个最大无关组并且把其余向量用这个最大无关组线性表示. (12分) [1+)x1+x2+x3=0 4 x+(1+)x2+x3=3 x1+x2+(1+)x3=2 问1取何值时，方程组(1)有唯一解：(2)无解：3)无穷多解并求出通解(12分) 5.二次型f=x2-2x,x,求一个正交变换x=Py将二次型化为标准型并且判断它的正定 性(12分) 四.证明题(5分) 向量a1,a2,a线性无关，B=a1,B2=a1+a2,B3=a1+42+a3 试证：B,B,B,线性无关 线性代数试题第2页（共2页）
线性代数试题 第2页（共2页） 1. 1 0 1 0 2 3 1 1 1 0 1 2 1 2 3 1 − − , 计算行列式,并且计算 A11 − A13 + 2A14 (6 分) 2. = − 0 2 1 3 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 X , 求 X (8 分) 3. T T T a (1,2, 1,4) ,a (9,100,10,4) ,a ( 2, 4,2,8) 1 = − 2 = 3 = − − T a (8,98,11,16) 4 = ,(1)求向量组的秩.(2)判断向量组的线性相关性.(3)如果线性相关,求 它的一个最大无关组,并且把其余向量用这个最大无关组线性表示. (12 分) 4. + + + = + + + = + + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1 ) (1 ) 3 (1 ) 0 x x x x x x x x x , 问 取何值时,方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)无穷多解,并求出通解.(12 分) 5. 二次型 1 2 2 f = x1 − 2x x 求一个正交变换 x = Py 将二次型化为标准型,并且判断它的正定 性.(12 分) 四. 证明题(5 分) 向量 1 2 3 a ,a ,a 线性无关, , , 1 = a1 2 = a1 + a2 3 = a1 + a2 + a3 试证: 1 2 2 , , 线性无关