第七节克莱姆法则 线性代教
第七节 克莱姆法则
非齐次与齐次线性方程组的概念 011比1+412X2+.+41nXn=b1 设线性方程组 L21X1+22X2+.+2mXn=b2 anx+an2x2++amxn=b 若常数项，b2,b不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组
+ + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2 bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2 bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念
、 克拉默法则 如果线性方程组 0K1+412X2+.+1xn=b 02x1+22x2+.+2cm=b2 (1) 0nx1+m2x2+.+ annxn b Au 012 的系数行列式不等于零，即D= 2 21 02
一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0
那么线性方程组1)有解，并且解是唯一的，解 可以表为 Dn D 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 D.=
, , , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)
证明 用D中第列元素的代数余子式4，A2j,.,Aw 依次乘方程组(1)的n个方程，得 (aux+ax:++aux)A=bAu (axx+axx++ax)A=bAz anx+an2x2++amx)Aj=bAn 在把n个方程依次相加，得
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j Anj 在把 n 个方程依次相加，得