第六节行列式按行（列）展开 线性代教
第六节 行列式按行(列)展开
余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素a,所在的第i行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a 的余子式，记作M, 记A,=（1)M 叫做元素4u的代数余子式. 例如 012 L14 2t225324 11 12 14 D= L31 32 31 033 34 M23= l32 34 L41 L42 L44 4 L42 L44 A3=(12+3M23=-M
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M 23 一、余子式与代数余子式
21 L23 L24 D= 21 22 L23 24 31 32 L33 34 M12=31 L33 349 0.2.43.+ 41 L43 L44 A2=(02M2=-M2: 11 012 13 M44=42122423A4=(-1)+4M44=M44 031L32L33 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和 个代数余子式
, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 个代数余子式. 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有 元素除M外都为零，那末这行列式等于，与它的 代数余子式的乘积， 即 D=0,A L11 L12 L13 14 例如 D= L21 l22 L23 L24 0 0 L33 0 041 042 L43 L44 11 L12 14 =（-1）+a31 L22 L24 =L33A33: a41 L42 44
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( ) 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 1 a a a a a a a a a a + = − 例如 . = a33A33
证当位于第一行第一列时， 11 0 D= 21 022 .: Anl an2 即有 D=4,M11·(利用了前面例书上p-14)的结果 又 A1=(-1)M1=M1, 从而 D=a1A·(结论成立 在证一般情形，此时
证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 在证一般情形, 此时 (利用了前面例3(书上p −14)的结果) (结论成立)