推论 若AB=E(或BA=E),则B=AH 证明 ·.·AB=E ∴.AB=E=1,故A≠0， 因而A存在，于是 B=EB=(A-A)B=A(AB) =AE=A 证毕 逆矩阵的运算规律 ()若A可逆，则A亦可逆，且(A'=A
A B = E = 1, 故 A 0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算规律 −1 −1 = A E = A AB = E
(2)若A可逆，数≠0，则A可逆，且 3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (A比士A1 证明由推论可知(4B火4上丑BB?特存在即为(AB)] =AEA-=AA=E, .（AB)1=B1A1
( ) 2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( )= −1 −1 AB B A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1 AB = B A 证明 ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A 由推论可知 (AB)( ？ ) = E ？若存在即为 ( ) −1 ( ) . AB −1 −1 A BB A
推广(4A4,A=AAA (4)若A可逆则AI亦可逆，(AI)1=(A1)T 证明”44y=(4'4=Er=E, .(a'=(ay. 另外，当A≠0时，定义 A0=E,A=(4y. (k为正整数)
( ) = − T T A A 1 T = E = E, ( ) ( ) . 1 1 T T A A − − = , ( ) . , 0 , 0 1 k k A E A A A − − = = 另外 当 时 定义 证明 (k为正整数) ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1 (4) 若A可逆，则A T 亦可逆， 1 1 . ( ) ( ) T T A A − − 且 = ( ) T A A −1
当A≠0，几，为整数时，有 AA=A+“,（A/=Au, (⑤)若A可逆，则有A=A. 证明 .·AA1=E .44-=1 因此A=A
( ) A , A A . 1 1 5 − − 若 可逆 则有 = 证明 AA = E −1 1 1 = − A A A A . 1 −1 − 因此 = 当A 0, ,为整数时,有 , + A A = A ( ) . A = A
二、逆矩阵的求法 的逆矩阵， 123 解A= 221=2,.A存在. 343 2 A11= 43
例1 求方阵 的逆矩阵. = 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A 解 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A = = 2, . A −1存在 2, 4 3 2 1 A11 = = 3, 3 3 2 1 A12 = − = − 二、逆矩阵的求法 2, 3 4 2 2 A13 = =