1 2 =（x1,2,xn L21 L22 x2 : Qn2 1 2 (看内4第一题第五小题) 记 L21 L22 A= A2n X2 x= 则二次型可记作f=xTAx,其中A为对称矩阵
则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A 记 ( ) = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , , , （看P54第一题第五小题）
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 对称矩阵4叫做二次型f的矩阵； f叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩
例1写出二次型 f=x+2x号-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵。 41=1,42=2,43=-3， 解 42=021=2,43=431=0, 2 023=032=-3. 0-3 3 12 0 .A= 2 2 -3 另一方法 0 -3 -3
解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0 − − A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１ x 1 x 1 x 2 x 3 2 xx 3 1 2 0 20 2 −3 −3 −3 另一方法
四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形 设 x1=c1y1+C12V2+.+cinyn2 x2 =C211+C222+.+c2nyn2 Xn CnIy1+cn2y2+.+cmnyn 记C=(c),则上述可逆线性变换可记作 x=Cy 将其代f=TAr
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换， C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy 将二次型化为标准形． f x Ax T 将其代入 =
将其代入f=x'Ax,有 f=xx=(A(C)=yCTAC=CAC) 定义9 设A与B是n阶矩阵若有可逆矩阵C,使 B=CTAC 则称矩阵4与B合同。 结论如果A为对称矩阵为可逆矩阵令B=CTAC, 则B也为对称矩阵且R(B)=R(A) 因为BT=(CTAC)LCT AT(CI)=CTAC=B,B为对称阵 又因郊=CTAC,而C可逆而CT亦可逆，由矩阵形 的性质即()=R(B)
将其代入 f = x T Ax,有 f x Ax T = y (C AC)y. T T ( ) = T = Cy 定义9 设A与B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C, B C AC T = 使 则称矩阵A与B合同。 结论 如果A为对称矩阵， B C AC, T C为可逆矩阵，令 = 则B也为对称矩阵, 因为 T T T B = (C AC) T T T T = C A (C ) C AC T = = B, B为对称阵。 又因为B C AC, T = 而C可逆，而C T 亦可逆，由矩阵秩 的性质即知R(A) = R(B). A(Cy) ACy T T = y C 且R(B) = R(A)