《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第四章 向量组的线性相关性 第四节 线性方程组解的结构

2 3 便得同解方程组 X1=7X3+7X4, 5 A 2=7X3+74 -00对应有-) /7 3/ 即得基础解系= 57 4/7 52 二 09 -2/7-3/7 0 -5/7 -4/7 0

便 得同 解方程组 , 1 0 0 1 4 3              =      令 及 x x , 4 7 3 7 5 7 2 7 2 1              =      对应有 及 x x , 1 0 4 7 3 7 2                =      = + = + . 7 4 7 5 , 7 3 7 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x , 0 0 0 0 0 1 5 7 4 7 1 0 2 7 3 7           − − 即得基础解系 , − − 0 1 5 7 2 7 1                =

并由此得到通解 27 3/7 X2 5/7 4/7 二C1 1 +C2 0 ,(c1,C2∈R). X3 0 解体也可承瓒炬种所基衡解柰和通辩矩 阵，有 711 710 -2/7-3/7 A= 2-5 3 ● 0 -5/7-4/7 7 0

,( , ). 1 0 4 7 3 7 0 1 5 7 2 7 1 2 1 2 4 3 2 1 c c c c R x x x x              +             =             并由此得到通解 我们也可用另一种方法 解法二 求基础解系和通解。, 0 0 0 0 0 1 5 7 4 7 1 0 2 7 3 7 7 7 3 1 2 5 3 2 1 1 1 1 ~           − − − −           − − − − A = 对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 A

2 3 X1= 7X3+7X4, 便得同解方程组 5 4 X2=7X3+7X4 2 2 方程组的通解 1=X3+4 7 7 X1 2-7 3 5 4 即 2 74 X2 X3+7x4 7 7 =C1 7 +C2 x3=1x3+0x4, 七 1 0 x4=0x3+1x4. XA 0 1 方程组的基础解系台-(，0 比较两种解法看看不同之处在哪里？

     = + = + . 7 4 7 5 , 7 3 7 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 便得同解方程组          = + = + = + = + 4 3 4. 3 3 4 2 3 4 1 3 4 0 1 1 0 , , 7 4 7 5 , 7 2 7 2 x x x x x x x x x x x x  方程组的通解 即               4 3 2 1 x x x x                   = 0 1 7 5 7 2 1 c                   + 1 0 7 4 7 3 2 c 方程组的基础解系 T ,1,0) 7 5 , 7 2 (  1 = T ,0,1) 7 4 , 7 3 (  2 = 比较两种解法，看看不同之处在哪里？

例13 解线性方程组 x1+x2+3+4x4-3x5=0 2x1+x2+3x3+5x4-5x5=0 X1-X2+3x3-2x4-K5=0 3x1+2+5x3+6x4-7x5=0 解 系数矩阵 4 -3 2 1 3 5 -5 A= 1 -1 3 -2 -1 3 -7

例13 解线性方程组        + + + − = − + − − = + + + − = + + + − = 3 5 6 7 0 3 2 0 2 3 5 5 0 4 3 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解               − − − − − − = 3 1 5 6 7 1 1 3 2 1 2 1 3 5 5 1 1 1 4 3 A 系数矩阵

111 4-3 -2 0 1 -3 0 -1 0 -2 2 -6 2 0 0-22 -6 2 R(A)=r=2,n=5,n-r=3,即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 同解方程组为 x1=-2x3-1x4+2x5令 00 可得 2=1x3-3x4+1x

              − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 0 2 1 2 ~ R(A) = r = 2, n = 5, n − r = 3, 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量.    = − + = − − + 2 3 4 5 1 3 4 5 1 3 1 2 1 2 x x x x x x x x               − − − − − − − 0 2 2 6 2 0 2 2 6 2 0 1 1 3 1 1 1 1 4 3 ~           5 4 3 x x x 令 ,           0 1 0 ,           = 0 0 1 .           1 0 0 r r 同解方程组为 可得