《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第四章 向量组的线性相关性 第三节 向量组的秩

-2 22 2 2 0 3 -1 3-1 -5 7 作00-3344 1+22 3-32 b h 2-233 1×(-1) 00-6 0% 得 X1=3X3-4x4, 令自由未知数3=C1,x4=C2, x2=-2x3+3x4, 得通解 1+2x2+3-2x4=0, 2 -2 3 X3 c +C2 1 0 郎作3乌C51+℃5,0， 0 X1-x2-5X3+7x4=0

          − − − − = 1 1 5 7 2 3 0 1 1 2 1 2 A 2 2 1 r − r 3 1 r − r ～           − − − 1 1 5 7 0 1 2 1 2           − − − − 1 1 5 7 0 1 1 2 1 2           − − − − − 1 1 5 7 0 1 2 1 2 1 2           − − − − − 1 1 5 7 0 1 2 3 1 2 1 2           − − − − − 0 3 6 9 0 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 r + r ～           − − − − − 0 3 6 9 0 1 2 3 1 0 3 4           − − − 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 3 4 3 3 2 r − r           − − 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 3 4 ( 1) r1  −    = − + = − 2 3 4, 1 3 4 2 3 3 4 , x x x x x x 得 令自由未知数 , , 3 1 4 2 x = c x = c 得通解               4 3 2 1 x x x x =               − 0 1 2 3 1 c , 1 0 3 4 2               − + c , 1  1 2  2 即作x = c + c      − − + = + − = + + − = 5 7 0 2 3 0, 2 2 0, 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x

知 S={x=C51+C25291,2∈R, 即S能由向量组5,52线性表示又因5,52的四个分量显然 成比例，故贴，52线性无关因此根据最大无关组籣价定义知 从而R、=2. 设向量组A:1,2,anm构成矩阵A=(a1,2,m) 根据向量组的秩的定及定断有)， 由此可知，前面介绍超理，2,3,4中出现的秩都歌为 向量组的秩。例如定趣可叙述为 定理2向量组b1,b2,b能由向量组a1,2,4m线性 表示的充分必要条件是可理解为矩阵的秩，也可理解为向量组的秩 R(41,2,.,4m=1,2,.,4m,b1,.,b

 1 1 2 2 知 S = x = c  + c  , , c1 c2  R 即S能由向量组 1， 2线性表示。又因 1， 2的四个分量显然不 成比例，故 1， 2线性无关。因此根据最大无关组的等价定义知 = 2. 从而Rs : , , , ( , , , ), 设向量组A a1 a2  a m构成矩阵A= a1 a2  a m 根据向量组的秩的定义 ( , ,及定理, )6，有( ). RA = R a1 a2  a m = R A 由此可知，前面介绍的定理1，2，3，4中出现的秩都可改为 向量组的秩。例如定理2可叙述为 定理 ’ 2 ′ 向量组b1 ,b2 ,  ,bl 能由向量组a1 ,a2 ,  ,a m 线性 表示的充分必要条件是 ( , , , ) R a1 a2  a m = ( , , , , , , ) 1 2 m 1 l R a a  a b  b 即可理解为矩阵的秩，也可理解为向量组的秩

前面我们建立定趣，3时，限制向量组只含有限向量 现在我们要去掉这一飄，把定理，2,3推广到一般情形 推广的方法是利用向鑷的最大无关组作过度 下面仅推广定理，大家体会方法再識雅广定理，2. 定理若向量组B能由向量组4A线性表示R≤R4· 证设R4=S,RB=t,并设向量组A和B的最大无关组 依次为A:41,42,.0, B0:b1,b2,.,b, .B组能由B组表示，.B,组能由4，组表示， B组能由A组表示，根据定理，有 A组能由An组表示，R(b1,b2,b)≤R(a1,2,0 即t≤s

前面我们建立定理1，2，3时，限制向量组只含有限个向量， 现在我们要去掉这一限制，把定理1，2，3推广到一般情形. 推广的方法是利用向量组的最大无关组作过度。 下面仅推广定理3，大家体会方法再去试着推广定理1，2. 定理3 ′ 若向量组B能由向量组A线性表示， . 则 RB  RA 证 R s,R t, 设 A = B = 并设向量组A和B的最大无关组 依次为 : , , , A0 a1 a2 as : , , , , B0 b1 b2  bt  B0组能由B组表示， B组能由A组表示， A组能由A0组表示， B0组能由A0组表示， 根据定理3，有 ( , , , ) ( , , , ), R b1 b2  bt  R a1 a2  as 即t  s

今后定理及定将不加区别都称定理.定理 定理趣与推广后的定理也不别。 列0设向量组B能由向量组4线性表示且它们的秩相等 证明向量组4与向量组B等价。 证设向量组A和向量组B合并成向量组， 因为B组能由A组表示， (A,B)=C 所以R4=Rc,(根据定) R(A)=R(A,B)=R(C) 又己知Rg=R4, 故有R4=RB=Rc· 从而知A组与B组等价。（根据定理的推论）

今后，定理3 及定理3 ′ 将不加区别，都称定理3. 定理1 定理2与推广后的定理也不加区别。 例10 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等， 证明向量组A与向量组B等价。 证 设向量组A 和向量组B合并成向量组C, 因为 B组能由A组表示， 所以 , RA = RC (根据定理2) 又已知 , RB = RA 故有 . RA = RB = RC 从而知A组与B组等价。（根据定理2的推论） (A,B) = C R(A) = R(A,B) = R(C)

例11设矩阵 2 -1 -1 2 1 4 A= 4 -6 2 -2 4 3 6 、0 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

              − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例11 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不