单位向量及n维向量间的夹角 ()当x=1时，称x为单位向量. (2)当x≠0，y≠0时，0=arccos [x,y] kly 称为n维向量x与y的夹角. 例求向量a=(1,2,2,3)与B=(（3,1,5,1)的夹角. .cos= a·B 18√2 解 aB3W2.62 元 ∴.0= 4
单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解 cos = 2 2 3 2 6 18 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角
三、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当x,y=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组
１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交， 三、正交向量组的概念及求法 则称该向 量组为正交向量组．
3正交向量组的性质 定理 若n维向量g1,2,a是一组两两正交白 非零向量则a1,a2,线性无关 说明正交向量组一定 证明 设有几1,12，.，2，使 反之不一定。 2c1+元22+.+20，=0 以aT左乘上式两，aTa1=0 由a,≠0→a,「a1=a,12≠0，从而有入=0. 同理可得22=.=儿，=0.故1，必2，线性无关
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以1 T 左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量, 定理1 若n维向量1 ,2 ,,r 是一组两两正交的 则1 , 2 , , r 线性无关. 说明正交向量组一定 反之不一定
4向量空间的正交基 若a1,2,a,是向量空间V的一个基，且ag1,a2, ,a,是两两正交的非零向组，则称a1,2,.,a,是 向量空间的正交基 例1已知三维向量空间中两个向量 1 Cy1= 02 -2 1 正交，试求C,使a,C2,a,构成三维空间的一个正交 基
例1 已知三维向量空间中两个向量 = − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 3 1 2 3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r
解设a3=(x1,x2,七3)I≠0，且分别与a1,a2正交， 则有 [a1,a31=[a2,a3l=0 [a1,a3】=x1+x2+x3=0 即 [a2,a3】=x1-2x2+x3=0 解之得x1=-x3,x2=0. 1 02 若令x3=1,则有 03= X2 01 由上可知C,C2,C,构成三维空间的一个正交基
即 = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有 − = = 1 0 1 3 2 1 3 x x x 由上可知 1 2 3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3 且分别与1 2正交 T x x x = − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2